Correction de Devoir Libre N°05: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 14 novembre 2011 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚05 EXERCICE 1 L’objectif de cet exercice est de r´esoudre sur R l’´equation 3ty −2y = t (2) − +1. R´esolvons l’´equation (2) sur les intervalles I = R et I = R .1 2 Notons, I l’un quelconque de ces deux intervalles (j∈{1,2}).j Pour tout t∈ I , on a :j 2 2(2) ⇐⇒ y − y = t t 2 R´esolution de l’´equation homog`ene y − y = 0. t 2 2Ici a(t) = − , on prend A(t) = −ln(t ). On en d´eduit que les t solutions de l’´equation homog`ene sur I sont les fonctions de laj forme : 2h(t) = C tj 3 Recherche d’une solution particuli`ere : la fonction t →t est une solution ´evidente de (2) sur I .j Epression de la solution g´en´erale de (2) dans Ij Finalement, les solutions de (2) sur I (j ∈{1,2}) sont les fonc-j tions d´efinies par 3 2∀t∈ I , f(t) = t +C t , ou` C ∈Rj j j N 2. Analyse Supposons qu’il existe une fonction ϕ : R → R, solution de (2) sur R. Par d´efinition, cela signifie que ϕ est d´efinie et d´erivable dans R et qu’elle v´erifie : c’est la d´efinition mˆeme de la no- 3∀t∈R, tϕ(t)−2 ϕ(t) = t (3) tion de solution d’une ´equation diff´erentielle!a. En particulier, les restrictions de ϕ aux intervallles I et I sont des1 2 solutionsdel’´equation(2)surcesintervalles.D’apr`eslapremi`ereques- 2tion, il existe donc un couple (C ,C )∈R tel que :1 2 3 2 3 2∀t∈ I ,ϕ(t) = t +C t et∀t∈ I ,ϕ(t) = t +C t1 1 2 2 1 ⋆ ′′′⋆′ b.