Correction de Devoir Libre N°04: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 2 novembre 2011 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚04 `PROBLEME 1 1.a. La fonction restreinte cos : [0,π] → [−1] est une fonction bijective| d´ecroissante. La fonction Arccos est sa bijection r´eciproque. C’est Arccos(x) est donc la fonction Arccos : [−1,1]→ [0,π] qui v´erifie pour tout couple l’unique ant´ec´edent (x,t) de r´eels de x par la fonction cosinus qui est compris x∈ [−1,1] t∈ [0,π] entre 0 et π⇐⇒ t = Arccos(s) x = cos(t) La fonction Arccos est d´erivable sur l’ouvert ]−1,1[ comme fonc- Fomule de la d´eriv´ee d’une bijectiontion r´eciproque d’une fonction d´erivable bijective dont la d´eriv´ee ne d´erivable s’annule pas. Et d’apr`es ce mˆeme th´eor`eme 1−1(f ) = −1f ◦f−1 ∀x∈]−1,1[,Arccos (x) =√ 21−x b. On en d´eduit 4 x −1 1 y = Arcco2s(x) Arccos (x) − 1 0Arccos(x) −2 0 2 4&0 y = cos (x)| −2 c. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = π− Arccos(x) alors t ∈ [0,π] et t est l’unique cos(t) =−x. Finalement, on a bien Arccos(−x) = π−Arccos(x). ant´ec´edent de −x par la fonction cos quid. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = Arccos(x) de sorte que t ∈ [0,π] et soit compris entre 0x = cos(t). Ainsi, et π, par d´efinition, t = Arccos(−x)cos(Arccos(x)) = x q p ainsi sin(t) ≥ 02 2sin(Arccos(x)) = sin(t) = sin (t) = 1−cos (t) √ 2= 1−x 1 ′ ′′′ 2.a.