Colle N°38: Géométrie affine euclidienne

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S38 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FONCTIONS DE DEUXVARIABLES ´El´ements de topologie du plan 2Le choix d’une base permet d’identifier le plan g´eom´etrique a` R . D´efinition : • La boule ouverte de centre a = (a ,a ) et de rayon r > 0 est1 2 2B(a,r) ={x∈R |kx−ak 0, B(a,r)⊂ Ω. 2 2 D´efinition : Soit Ω une partie de R et a∈R . On dit que a est adh´erent a` Ω si ∀ε > 0, B(a,ε)∩Ω =∅. On note ¯ ¯Ω l’ensemble des points adh´erents a` Ω. Ω est appel´ee l’adh´erence de Ω. 2´Lemme.— Equivalence des normes —. Soit x = (x ,x )∈R . Alors1 2 √ max{|x |,|x |}≤kxk≤ 2max{|x |,|x |}1 2 1 2 Continuit´e d’une fonction de deux variables 2 D´efinition : Soit f : Ω→ R une fonction d´efinie dans un ouvert Ω de R , a∈ Ω. On dit que f est continue en a lorsque ∀ε > 0, ∃ η > 0, ∀x∈ Ω, kx−ak≤ η⇒|f(x)−f(a)|≤ ε. On dit que f est continue sur Ω, si elle est continue en chaque point de Ω. Proposition.— Sont continues sur leurs domaines de d´efinition, les projections, les polynˆomes, la norme euclidienne, les fonctions polynomiales et les fonctions rationnelles. Th´eor`eme.— Op´erations sur les fonctions continues —. • Soit f,g deux fonctions continues dans Ω. Alors λf + μg, f × g et (f/g) (si g ne s’annule pas dans Ω) sont continues dans Ω. • lorsqu’elle est d´efinie, la compos´ee de deux fonctions continues est continue. Corollaire.