Colle N°36: Courbes planes paramétrées

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S36 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ESPACESVECTORIELSEUCLIDIENS Produit scalaire 2D´efinition : Soit E un R-e.v. On appelle produit scalaire sur E, toute application Φ : E →R qui est : • sym´etrique : pour tous ~x et ~y dans E, Φ(~x,~y) = Φ(~y,~x); • bilin´eaire : lin´eaire par rapport a` chaque variable; • positive : pour tout ~x dans E, Φ(~x,~x)≥ 0; • d´efinie-positive : pour tout ~x dans E, si Φ(~x,~x) = 0, alors ~x = 0 .E Dans ce cas, on notera pour tous vecteurs ~x et ~y de E : Φ(~x,~y) = (~x | ~y). D´efinition: Un R-e.v de dim finie E muni d’un produit scalaire (· | ·) est appel´e espace vectoriel euclidien (e.v.e). p D´efinition : Pour tout ~x∈E, le r´eel (~x|~x) est positif. On note k~xk = (~x|~x) la norme euclidienne de ~x. Proposition.— Identit´es remarquables —. Soit E un eve Pour tous vecteurs ~x et ~y dans E, 2 2 2 1 2 2• k~x+~yk =k~xk +2(~x| ~y)+k~yk • (~x| ~y) = k~x+~yk −k~x−~yk4 . 2Th´eor`eme.— Soit E un e.v.e , (~x,~y)∈E . Alors : In´egalit´e de Cauchy-Schwarz|(~x| y~)|≤k~xk·k~yk avec ´egalit´e ssi ~x et ~y sont colin´eaires. In´egalit´e triangulairek~x+~yk≤k~xk+k~yk avec ´egalit´e ssi ~x et ~y sont colin´eaires et de mˆeme sens. Familles orthogonales, orthonormales D´efinition : Soit E un eve. Soit ~x,~y,~x ,...,~x des vecteurs de E.