Colle N°34: Formules de Taylor

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S34 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´FORMULES DE TAYLOR ET DEVELOPPEMENTS LIMITES Formules de Taylor nPolynoˆmes de Taylor d’une fonction de classe C nD´efinition : Soit f ∈C (I,R) et a∈ I. On appelle polynoˆme de Taylor de f en a de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n, le polynoˆme T d´efini par :n n′ ′′ (n) (k)Xf (a) f (a) f (a) f (a)2 n k T (x) =f(a)+ (x−a)+ (x−a) +···+ (x−a) = (x−a) .n 1! 2! n! k! k=0 Formules de Taylor Th´eor`eme.— Formule de Taylor avec reste int´egrale n+1Soit n∈N un entier naturel et f :I →R une fonction de classe C sur I, et a∈I. Alors Z x′ (n) nf (a) f (a) (x−t)n (n+1) ∀x∈I, f(x) =f(a)+ (x−a)+···+ (x−a) + f (t)dt 1! n! n!a Savoir-faire : utiliser la formule de Taylor avec reste int´egrale pour obtenir des encadrements du reste : Th´eor`eme.— In´egalit´e de Taylor-Lagrange +n+1 (n+1) Soit f ∈C (I,R), a∈I et M ∈R tel que ∀t∈I, f (t) ≤M. Alors n (k) n+1X f (a) |x−a| k∀x∈I, f(x)− (x−a) ≤M k! (n+1)! k=0 Savoir-faire : utiliser les in´egalit´es de Taylor-Lagrange pour montrer la convergence de ”s´eries”, des suites dont lePn terme g´en´eral est S = u :n k0 Th´eor`eme.— Formule de Taylor-Young nSoient n∈N un entier naturel et f :I →R une fonction de classe C sur un intervalle I contenant a. Alors ′ (n) f (a) f (a) n n∀x∈I, f(x) =f(a)+ (x−a)+···+ (x−a) +o (x−a) 1! n!