Colle N°33: Fractions rationnelles et primitives

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S33 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FRACTIONS RATIONNELLES ET CALCUL DE PRIMITIVES Corps des fractions rationnelles D´efinition : On appelle fraction rationnelle a` coefficients dans K et d’ind´etermin´ee X toute expression de la forme 2F =P/Q, ou` (P,Q)∈K[X] et Q n’est pas le polynoˆme nul. Deux fractions rationnelles F =P /Q et F =P /Q1 1 1 2 2 2 sont ´egales si P ×Q =P ×Q .1 2 2 1 Proposition*.— degr´e d’une fraction rationnelle —. Soit F ∈ K(X). Le nombre d = d˚P −d˚Q ∈ Z∪−∞ est 2ind´ependant du couple (P,Q)∈K[X] tel que F =P/Q. On note d˚F =d˚P −d˚Q. D´efinition : Soit F =P/Q une fraction rationnelle pr´esent´ee sous forme irr´eductible, et α∈K. Si α est une racine de P d’ordre de multiplicit´e p, on dit que α est un z´ero de F de multiplicit´e p. Si α est une racine de Q d’ordre de multiplicit´e p, on dit que α est un poˆle de F de multiplicit´e p. D´ecomposition en ´el´ements simples Th´eor`eme*.— Partie enti`ere —.Soit F ∈K(X) une fraction rationnelle. Il existe un couple (E,G)∈K[X]×K(X) unique tel que E est un polynˆome, G est une fraction rationnelle de degr´e strictement n´egatif et F =E +G. E est appel´ee la partie enti`ere de F, G est la partie fractionnaire. P Proposition*.— S´eparation des poˆles —. Soit F = une fraction de degr´e strictement n´egatif telle que Q ×Q1 2 2Q ∧Q = 1.