Colle N°30: Représentation matricielle en dim finie

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S30 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´REPRESENTATIONS MATRICIELLES EN DIMENSION FINIE Rang d’une matrice Proposition*.— Rang d’une matrice —. Soit A ∈ M (K) une matrice a` p colonnes not´ees A ,...,A . Notonsn,p 1 p p n (~a ,~a ,...,~a ) les vecteurs canoniquement associ´es aux colonnes de A et a∈L(K ,K ) l’application lin´eaire canoni-1 2 p quement associ´ee `a A. Alors Rga =Rg(~a ,~a ,...,~a ). On pose1 2 p RgA =Rga =Rg(~a ,~a ,...,~a )1 2 p Proposition*.— Rangdedeuxmatrices´equivalentes—. SoitA∈M (K). Pourtoutesmatricescarr´eesinversiblesn,p P ∈GL (K) et Q∈GL (K),p n −1Rg Q ×A×P =RgA 0 11 0 · · · 0 0 0Th´eor`eme*.— Soit A∈M (K) et r≤ min(n,p). Alorsn,p ..B C. ..0 1 .B C B C. . .. . .B C. .. 0A est de rang r J =n,p,r B C0 · · · 0 1 0 0B C si et seulement si B0 0 0 0C @ A.−1 .il existe un couple (P,Q)∈GL (K)×GL (K) tel que A =Q ×J ×Pp n n,p,r . 0 0 0 0 Proposition.— Invariance du rang par op´erations ´el´ementaires —. Soit A∈M (K). On ne change pas le rangn,p d’une matrice lorsqu’on : ´echange deux lignes (resp. deux colonnes) de A; remplace une ligne (resp. colonne) de A par un multiple non nul de cette ligne (resp. colonne); ajoute `a une ligne (resp. colonne) un multilple d’une autre ligne (resp. colonne).