Colle N°29: Dimension finie

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S29 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. DIMENSIONFINIE Espaces vectoriels de dimension finie D´efinition : Un K-e.v. est dit de dimension finie s’il poss`ede une famille g´en´eratrice finie. Proposition*.— Soit E un e.v. de dim finie sur K. SoientL (resp. G) une famille finie et libre (resp. g´en´eratrice) de vecteurs de E, telles que L⊆G. Alors, il existe une baseB de E telle queL⊆B⊆G. Th´eor`eme*.— Th´eor`eme de la base incompl`ete —.Soit E un K-e.v. de dim finie sur K. Toute famille libre finie L de vecteurs de E peut ˆetre compl´et´ee en une base de E. De toute famille g´en´eratrice finie G de E, on peut extraire une base. Corollaire.— Tout espace de dimension finie poss`ede des bases. Th´eor`eme*.— Th´eor`eme de la dimension —. Soit E un K e.v. de type fini. Alors toutes les bases de E ont mˆeme cardinal. Cet entier est appel´e la dimension de E. ⋆ Th´eor`eme.— Caract´erisation des espaces de dimension n —. Soient E un e.v. sur K et n∈N . Alors n E est de dimension finie n si et seulement si E est isomorphe `a K . Connaˆıtre : les exemples classiques d’espaces vectoriels de dim finie et leur dimension. Sous-espaces vectoriels en dimension finie Th´eor`eme.— Dimension d’un sous-espace —. Soit E un K-e.v. de dim finie et F un s.e.v. de E. Alors F est de dim finie et dim F ≤ dim E.