Colle N°28: Applications linéaires

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S28 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´APPLICATIONSLINEAIRES Applications lin´eaires D´efinition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le mˆeme corps K et f : E → F une application. On dit que f est lin´eaire de E dans F lorsque 2 2 ∀(~x,~y)∈E , ∀(λ,μ)∈K , f(λ·~x+μ·~y) =λ·f(~x)+μ·f(~y) Notation : On note L(E,F) l’ensemble des applications lin´eaires de E dans F, L(E) l’ensemble des endomorphismes de E, GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. Proposition.— L(E,F),+,· est un K-ev. Proposition.— Soit f ∈L(E,F) et g∈L(F,G). Alors g◦f : E → G est une application lin´eaire de E dans G. Endomorphismes Proposition.— L(E),+,◦ est un anneau. p p−1D´efinition : Polynoˆme d’endomorphisme —. Soient P ∈K[X], P =a X +a X +···+a X+a et f ∈L(E).p p−1 1 0 On d´efinit P(f)∈L(E) par p p−1 P(f) =a f +a f +···+a f +a idp p−1 1 0 E Th´eor`eme*.— Formule du binˆome et identit´e g´eom´etrique —. Soient f,g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = g◦f. Alors pour tout entier n∈N n nX Xnn k n−k n+1 n+1 k n−k(f +g) = f ◦g f −g = (f −g)◦ f ◦g k k=0 k=0 Isomorphismes D´efinition : Soient E et F deux K-ev. On appelle isomorphisme de E sur F toute application lin´eaire et bijective f de E sur F. Proposition.— Isomorphisme r´eciproque −1Soit f ∈L(E,F) un isomorphisme de E sur F.