Colle N°27: Espaces vectoriels

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S27 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ESPACESVECTORIELS Espaces vectoriels D´efinition : On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une addition interne, not´ee + et d’une multiplication externe not´ee · telles que : • L’addition + :E×E→E v´erifie les propri´et´es suivantes : 3A1.— associativit´e : ∀(~x,~y,~z)∈E , (~x+~y)+~z =~x+(~y +~z). 2A2.— commutativit´e : ∀(~x,~y)∈E , ~x+y~ =~y +~x. ~ ~ ~A3.— E poss`ede un ´el´ement neutre pour +, not´e 0 : ∀~x∈E, ~x+0 = 0 +~x =~x.E E E ~A4.— tout ´el´ement ~x de E poss`ede un oppos´e, not´e −~x qui v´erifie ~x+(−~x) = 0E • La multiplication· :K×E→E v´erifie les propri´et´es suivantes : 2M1.— associativit´e mixte : ∀(λ,μ)∈K , ∀~x∈ E, λ·(μ·~x) = (λ.μ)·~x 2 M2.— distributivit´e a` droite : ∀(λ,μ)∈K , ∀~x∈E, (λ+μ)·~x = λ·~x+μ·~x 2M3.— distributivit´e a` gauche : ∀λ∈K, ∀(~x,~y)∈E , λ·(~x+~y) = λ·~x+λ·~y M4.— action de 1· : ∀~x∈ E, 1·~x =~x. 2 Proposition.— R`egles de calculs dans un espace vectoriel —.Soit (E,+,·) un K-e.v. Pour tous couples (λ,μ)∈K 2et (~x,~y)∈ E : ~ ~ ~ ~ ~1. λ·0 = 0 et 0·~x = 0 . 3. λ·~x = 0 ⇐⇒ λ = 0 ou ~x = 0 .E E E E E 2. (−λ)·~x =−(λ·~x) = λ·(−~x). 4. λ·(~x−~y) = λ·~x−λ·~y. n Connaˆıtre parfaitement : les structures alg´ebriques des exemples classiques d’espaces vectoriels : K , M , K[X],n,p N F(I,K), R . Proposition*.