Colle N°25: Systèmes d'équations linéaires

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S26 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. CALCULMATRICIEL Op´erations alg´ebriques dansM (K)n,p ⋆ ⋆D´efinition : Soit (n,p)∈ N ×N deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de n lignes et p colonnes toute famille (a ) d’´el´ements de K. On la repr´esente sous la forme d’un tableau rectangulaire d’´el´ements de K.i,j 1≤i≤n 1≤j≤p D´efinition : Somme de matrices, multiplication externe par un scalaire, transposition et conjugaison. D´efinition : Produit de deux matrices—. Soit (A,B)∈M (K)×M (K), on d´efinit la matrice A×B∈M (K)n,p p,q n,q par : pX ∀(i,j)∈ [1,n]]×[1,q]], (A×B) = a ×bi,j i,k k,j k=1 Th´eor`eme.— Propri´et´es du produit de matrices SoitA,B,C des matricesa` coefficients dansK. Pourvuque les produits et sommes ci-dessoussoientbien d´efinis,ona : 1. A×(B×C) = (A×B)×C 4. λ(A×B) = (λA)×B = A×(λB) 2. A×(B +C) = A×B +A×C 5. Si A∈M alors I ×A = A×I =A.n,p n p 3. (A+B)×C = A×C +B×C 6. A×0 = 0 et 0×A = 0. ´Proposition.— Ecriture matricielle des syst`emes d’´equations lin´eaires Consid´erons le syst`eme de n ´equations lin´eaires a` p incon- nues d´efini ci-contre.  a x + a x + ··· + a x = bNotons A = (a ) ∈ M (K) la matrice des coefficients 1,1 1 1,2 2 1,p p 1i,j n,p a x + a x + ··· + a x = bde (S) et B = (b ) ∈ M (K) la matrice colonne second 2,1 1 2,2 2 2,p p 2i n,1 (S) . . .membre. On a l’´equivalence : . .