Colle N°23: Suites numériques

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S23 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´SUITESNUMERIQUES(II) Suites de r´ef´erence Proposition*.— Trois relations de comparaison —. Soient u et v des suites de nombres r´eels. On suppose qu’`a partir d’un certain rang n , v = 0. Alors0 n 1. u =O(v ) si et seulement si (u /v ) est born´ee.n n n n n≥n0 2. u = o(v ) si et seulement si lim u /v = 0.n n n n n→+∞ 3. u ∼ v si et seulement si lim u /v = 1.n n n n n→+∞ 6′ ′Th´eor`eme.— Croissances et croissances compar´ees des suites de r´ef´erence —. Soit (a,b,α,α ,β,β ) ∈ R tels ′ ′que 1 0 : l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines r´eelles distinctes, not´ees r , r .1 2 2 n n∃ !(λ,μ)∈R tel que∀n∈N, u = λr +μrn 1 2 ◮ Si Δ = 0 : l’´eq. caract´eristique poss`ede une racine r´eelle double, not´ee r0 2 n n∃ !