Colle N°21: Dérivation

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S21 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. (1/2)´DERIVATION D´erivabilit´e f(x)−f(a) D´efinition : Soit f : I → R une fonction d´efinie sur I et a ∈ I. f est d´erivable au point a si admet x−a f(x)−f(a)′une limite finie au point a. En ce cas, on note f (a) = lim . On dit que f est d´erivable sur I si f est x→a x−a d´erivable en tout point de I. Interpr´etation g´eom´etrique Th´eor`eme.— D´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 des fonctions d´erivables —. soit f : I →R et a∈ I. f est d´erivable au point a ssi il existe d∈R tel que f(x) = f(a)+d·(x−a)+o (x−a)a ′En ce cas, f (a) = d. Corollaire.— Si f : I →R est d´erivable au point a∈ I, alors f est continue au point a. ′Corollaire.— Si f : I →R est d´erivable au point a∈ I, et f (a) = 0, alors ′f(x)−f(a)∼ f (a)(x−a)a 22Proposition.— Op´erations alg´ebriques sur les fonctions d´erivables —. Soit (f,g) ∈ F(I,R) , (λ,μ) ∈ R . On suppose que f et g sont d´erivables en a∈ I. Alors ′ ′ ′ la fonction λ·f +μ·g est d´erivable en a et (λ·f +μ·g) (a) = λ·f (a)+μ·g (a) ′ ′ ′ la fonction f×g est d´erivable en a et (f×g) (a) = f (a)×g(a)+f(a)×g (a) ′ ′ ′f f f (a)×g(a)−f(a)×g (a) si g(a) = 0, la fonction est d´erivable en a et (a) = 2g g g(a) Proposition.— R`egle de d´erivation en chaˆıne —. Soit g ∈ F(J,R) et f ∈ F(I,R), telles que f(I) ⊂ J.