Colle N°20: Fonctions continues sur un intervalle

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S20 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE Notions de continuit´e D´efinition : Soit f : I →R et a∈ I. On dit que • f est continue au point a si lim f(x) = f(a) x→a • f est continue a` gauche (resp . a` droite ) en a si lim f(x) = f(a). (resp . lim f(x) = f(a) ) − +x→a x→a • f est continue sur I si f est continue en tout point de I. D´efinition : Soit I un intervalle, a ∈ I. Soit f : I \{a} → R. On dit que f est prolongeable par continuit´e au point a si f admet une limite finie en a : (∃ℓ∈R), lim f(x) = ℓ. = x−→a f(x) si x = a˜ ˜En ce cas, la fonction f : I → R d´efinie par ∀x ∈ I, f(x) = est appel´e prolongement continu ℓ si x = a de f en a. Th´eor`eme*.— Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e .—Soit f : I →R et a∈ I. Nf est continue en a ssi ∀(x )∈ I , lim x = a⇒ lim f(x ) = f(a) .n n n n→+∞ n→+∞ Proposition.— Principe de prolongement des in´egalit´es .— Soit f,g : I → R, a ∈ I. On suppose que f et g sont continues en a. Si f(a) 0), (∃η > 0), (∀(x,y)∈ I ), (|x−y|≤ η⇒|f(x)−f(y)|≤ ε) +D´efinition : Soit f : I → R une fonction, k ∈ R . On dit que f est lipschitzienne de constante k, ou plus simplement k-lipschitzienne sur I si 2∀(x,y)∈ I , |f(x)−f(y)|≤ k|x−y| Proposition.— Une fonction uniform´ement continue sur I est continue sur I.