Colle N°18: Étude locale des fonctions

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S18 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. (1/2)´ETUDE LOCALE DES FONCTIONS (I) Limites de fonctions ¯D´efinition : Soit f : I →R, a∈ I et ℓ∈R. On dit que f a pour limite ℓ au point a si : (∀ε > 0), (∃η > 0), (∀x∈ I), (|x−a|≤ η⇒|f(x)−ℓ|≤ ε) D´efinition : Extensions de la notion de limite 1. limite finie en une extr´emit´e infinie de I ¯2. limite infinie en a∈ I 3. limite infinie en une extr´emit´e infinie de I. ◦ D´efinition : Soient I un intervalle non trivial, f : I →R a∈ . On dit que f poss`ede une limite a` gauche (resp. a`I droite) au point a si la restriction de f a` J = I∩]−∞,a[ (resp. J = I∩]a,+∞[) poss`ede une limite en a. ′¯ ¯Proposition.— Unicit´e de la limite —. Soit f : I →R, a∈ I∪{±∞}, ℓ,ℓ ∈ R. ′ ′Si f admet ℓ et ℓ comme limites au point a, alors ℓ = ℓ . ◦ Proposition*.— Soit I un intervalle non trivial, f : I →R et a∈ un point a` l’int´erieur de I. AlorsI f admet une limite au point a ssi f admet f(a) comme limite a` gauche et `a droite en a. Propri´et´es des fonctions poss´edant une limite ¯ ¯Th´eor`eme.— Caract´erisation s´equentielle de la limite.— Soit f : I → R, a ∈ I ∪{±∞}, et ℓ ∈ R.