Colle N°17: Suites numériques

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S17 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´SUITESNUMERIQUES(I) Convergence des suites de nombres r´eels N D´efinition : Soit u∈R une suite de nombres r´eels et ℓ∈R. On dit que u converge vers ℓ, et on note lim u =ℓ, si (∀ε > 0),(∃n ∈ N); (∀n∈N) (n≥ n )⇒|u −ℓ|≤ εn 0 0 n n→+∞ u diverge vers +∞, et on note lim u = +∞ si (∀A∈R), (∃n ∈ N); (∀n∈ N) (n≥ n )⇒ (u ≥A)n 0 0 n n→+∞ u diverge vers −∞, et on note lim u =−∞ si (∀A∈R), (∃n ∈ N); (∀n∈ N) (n≥ n )⇒ (u ≤A)n 0 0 n n→+∞ 2N ′ ¯Th´eor`eme.— Unicit´e de la limite —. Soit u∈ R une suite de nombres r´eels, (ℓ,ℓ )∈R . ′ ′Si lim u =ℓ et lim u = ℓ , alors ℓ = ℓ .n n n→+∞ n→+∞ N Proposition*.— Une petite caract´erisation —. Soit u∈ R une suite de nombres r´eels et ℓ∈ R. La suite u converge vers ℓ si et seulement si il existe une suite v, convergente vers 0, telle que u = ℓ+v. Th´eor`eme.— Limite finie et bornitude —. Toute suite convergente est born´ee. Proposition.— Limites et in´egalit´es —. Soit u et v deux suites de nombres r´eels convergentes.