Colle N°16: Ensembles ordonnés, propriétés de R

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S16 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ENSEMBLES ORDONNES, PROPRIETES DE R Ensembles ordonn´es D´efinition : SoitR une relation binaire de E. On dit queR est : r´eflexive lorsque ∀x∈E, xRx. sym´etrique lorsque ∀(x,y)∈E×E, (xRy)⇒ (yRx). 2 antisym´etrique lorsque ∀(x,y)∈E , (xRy etyRx)⇒ (x = y). 3 transitive lorsque ∀(x,y,z)∈ E , (xRy etyRz)⇒ (xRz). Un ensemble ordonn´e est un couple (E, ) ou` est une relation d’ordre sur E, c’est-a`-dire une relation r´eflexive, antisym´etrique et transitive. D´efinition : Soit (E, ) un ensemble ordonn´e. Deux ´el´ements x,y de E sont dits comparables si (x y) ou (y x). Lorsque tous les ´el´ements de E sont comparables deux a` deux, on dit que est un ensemble totalement ordonn´e. Dans le cas contraire, on dit que (E, ) est partiellement ordonn´e. D´efinition : Soient (E, ) un ensemble ordonn´e, et A∈P(E) une partie de E et x un ´el´ement de E. • x est un majorant de A dans E si ∀a∈A, a x • x est un minorant de A dans E si ∀a∈A, a x • x est un plus grand ´el´ement de A dans E si x est un ´el´ement et majorant de A • x est un plus petit ´el´ement de A dans E si x est un ´el´ement et minorant de A Vocabulaire : On dit que A est une partie major´ee (resp. minor´ee) de E s’il existe un majorant (resp.