Colle N°15: Structures algébriques fondamentales

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+13 janvier 2012 PROGRAMME DE COLLE S13 Bis NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´STRUCTURESALGEBRIQUESFONDAMENTALES Lois de composition interne D´efinition : Une loi de composition interne ⋆ :E×E →E est dite : 3 associative si ∀(x,y,z)∈ E , x⋆(y⋆z) = (x⋆y)⋆z. 2 commutative si ∀(x,y)∈E , x⋆y = y⋆x. Un ´el´ement de (E,⋆) est dit ´el´ement neutre pour ⋆ si : ∀x∈E, x⋆e = e⋆x = x D´efinition: On suppose que (E,⋆) a un´el´ement neutree et que⋆ est associative. Un´el´ement x∈ E est dit sym´etrisable ′ ′ ′ ′s’il existe x ∈E, tel que x⋆x = x ⋆x = e. x est alors appel´e le sym´etrique de x. Savoir-faire : une l.c.i. est g´en´eralement not´ee +, ×, ou ⋆. Vous devez savoir adapter suivant les cas (+, ×, ⋆) les notions de sym´etrique, d’´el´ement neutre, et d’it´er´e d’un ´el´ement. Groupes D´efinition : Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne ⋆. (G ) la loi ⋆ est associative1 On dit que (G,⋆) est un groupe si (G ) la loi ⋆ poss`ede un ´el´ement neutre2 (G ) tout ´el´ement poss`ede un sym´etrique.3 Si de plus la loi ⋆ est commutative, on dit que G est groupe ab´elien, ou commutatif. D´efinition : Soit (G,×) un groupe et H ⊂G une partie de G. H est un sous-groupe de G (H σ(j). ⋆ I(σ)D´efinition : Soit n∈N , σ ∈S . On appelle signature de σ le nombre r´eel ε(σ) = (−1) . σ est dite paire (resp.n impaire) si ε(σ) = 1 (resp. ε(σ) =−1).