Colle N°12: Notions de base

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+9 d´ecembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S11 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. NOTIONSDEBASE Logique D´efinition : tables de v´erit´e des connecteurs logiques ´el´ementaires —. conjonction, disjonction, n´egation, implica- tion et ´equivalence. Proposition.— Propri´et´es des op´erations logiques ´el´ementaires —. commutativit´e, associativit´e, distributivit´es de OU et ET. N´egation d’une conjonction, d’une disjonction... D´efinition : Quantificateurs —. Les propri´et´es d’un ensemble E sont de l’un des deux types suivants : Type Existentiel : Il existe (au moins) un ´el´ement x de E v´erifiant P. On note (∃x∈E) P(x) Type Universel : Tous les ´el´ements x de E v´erifient P. On note (∀x∈E) P(x) Proposition*.— R`egles de calcul pour les quantificateurs —. non ∃x∈ E; P(x) ⇐⇒ ∀x∈E; nonP(x) non ∀x∈ E; P(x) ⇐⇒ ∃x∈E; nonP(x) ∀x∈ E, ∀y∈ F, P(x,y) ⇐⇒ ∀y∈ F, ∀x∈E ,P(x,y) ∃x∈ E, ∃y∈ F, P(x,y) ⇐⇒ ∃y∈ F, ∃x∈E ,P(x,y) Savoir-faire : prendre la n´egation d’une assertion quantifi´ee. Proposition.— Strat´egies pour une implication —. Soient P et Q des assertions. Les ASSE ~ w • P ⇒Qw w • nonP ou Qw w • nonQ⇒nonPw • non P etnonQ . Savoir-faire : d´emonstration par contrapos´ee, d´emonstration par l’absurde Ensembles 2D´efinition : Op´erations ´el´ementaires dansP(E)—. Soient E un ensemble, (A,B)∈P(E) , on d´efinit 1. A∪B ={x∈ E|x∈ Aou x∈ B}, la r´eunion de A et B.