Colle N°11: Géométrie élementaire de l'espace

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+2 d´ecembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S10 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE Points et vecteurs de l’espace ~D´efinition : Soit ~u, ~v, w~ des vecteurs de l’espace vectoriel E, • colin´earit´e : on dit que ~u est colin´eaire a`~v s’il existe un r´eel λ∈R tel que ~u =λ·~v.~u et~v sont dits colin´eaires si l’un des deux est colin´eaire a` l’autre. • coplan´earit´e : ~u,~v et w~ sont dits coplanaires si l’un appartient a` la direction engendr´ee par les deux autres. ~D´efinition : On dit que (~u,~v,w~) est une base de E si ces vecteurs sont non coplanaires. Elle est dite directe si un observateur, plac´e debout dans le sens de w~ a son pied droit sur ~u et son pied gauche sur ~v. ~ ~ ~Th´eor`eme*.— Caract´erisation des bases de E — . SoitB = (~ı,~,k) une base de E. 3~ ~pour tout vecteur ~u∈E, il existe un triplet (x,y,z)∈R ,unique tel que ~u =x·~ı+y·~+z·k. ~D´efinition : On appelle rep`ere cart´esien de E, tout quadruplet R = (O,~ı,~,k), form´e d’un point O ∈ E et d’une ~ ~base B = (~ı,~,k) de E . De plus, on dit que ~• R est orthonorm´e si les vecteurs~ı, ~ et k sont unitaires et deux a` deux orthogonaux. ~• R est orthonorm´e direct (ROND) si de plus la famille (~ı,~,k) est directe. ~Th´eor`eme.— Coordonn´ees cylindriques et sph´eriques —. SoitR = (O,~ı,~,k) un ROND de l’espace et M un point ~de E.