Colle N°10: Coniques

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+25 novembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S09 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. CONIQUES D´efinition monofocale +⋆D´efinition : Soient D une droite, F ∈ P\D et e ∈ R . On appelle conique de foyer F, de directrice D et MF d’excentricit´e e l’ensemble Γ = Γ(F,D,e) des points M ∈P tels que =e. d(M,D) On note K le projet´e orthogonal de F sur D. Le nombre p = eKF = ed(F,D) est le param`etre de Γ. Le rond −−→ KF R = (F,~ı,~), ou`~ı est le vecteur unitaire~ı = est le rep`ere focal.F KF Proposition.— Equation de Γ dans le rep`ere focal—. 2 2 2Γ admet pour ´equation cart´esienne dans le rep`ere focalR x +y = (ex+p)F +⋆ D´efinition : SoientD une droite, F ∈P\D et e∈R si e = 1, la conique Γ(F,D,e) est la paraboleP de foyer F et de directriceD. si 0 1, la conique Γ(F,D,e) est l’hyperboleH de foyer F, de directriceD et d’excentricit´e e. ´Etude de la parabole ´Proposition*.— Equation r´eduite —. Soit (O,~ı,~) un rond, p> 0. 2La courbeP d’´equation cart´esienne y = 2px est une parabole. Plus pr´ecis´ementP est la parabole d´efinie par la donn´ee de • son sommet O(0,0) • son foyer F(p/2,0) p• sa directrice D : x =− • son param`etre p 2 x0De plus, une ´equation cart´esienne de la tangente a`P au point M est yy =p(x+x ).0 0 0y0 2x = 2pt2Proposition.