Colle N°09: Courbes planes

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S09 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. COURBES DANS LE PLAN (I) Fonctions `a valeurs vectorielles ~ ~ ~D´efinition : Une application f : I →P d´efinie sur l’intervalle I, a` valeurs dans P est appel´ee une fonction vecto- ~rielle. Pour tout t∈ I, il existe des r´eels x(t) et y(t) tels que f(t) = x(t)·~ı+y(t)·~. ~Les fonctions x : I →R et y : I →R s’appellent les coordonn´ees de f. ~ ~D´efinition : Soit f : I →P une fonction vectorielle de coordonn´ees x et y, t ∈ I.0 ~• f est continue en t si et seulement si x et y sont continues en t .0 0 ′ ′ ′~ ~• f est d´erivable en t si et seulement si x et y sont d´erivables en t . En ce cas, f (t ) = x (t )·~ı+y (t )·~.0 0 0 0 0 1~ ~ ~Proposition.— Formules de d´erivation —. Soient λ : I → R, f : I → P et ~g : I → P des fonctions de classe C . 1~ ~ ~Alors les fonctions t →λ(t)·f(t), t →f(t) | ~g(t) et t →Det(f(t),~g(t)) sont de classeC sur I, et pour tout t∈ I ′ ′ ′~ ~ ~• λ·f (t) = λ (t)·f(t)+λ·f (t) ′ ′ ′~ ~ ~• f |~g (t) = f (t)|~g(t) + f(t)|~g (t) ′ ′ ′~ ~ ~• Det(f,~g) (t) = Det f (t),~g(t) +Det f(t),~g (t) Courbes param´etr´ees en coordonn´ees cart´esiennes x = x(t)1Soit Γ un arc de classeC sur un intervalle I de R, d´efini par les ´equations param´etriques . y = y(t) Vous devez connaˆıtre et de savoir mettre en œuvre le plan d’´etude d’une telle courbe.