Colle N°08: Géométrie élémentaire du plan

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S08 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN Modes de rep´erage dans le plan D´efinition : bases et rep`eres du plan, bases et rep`eres orthonorm´es, orthonorm´es directs. x~ ~Th´eor`eme.— Soient R = (O,~ı,~) et R = (Ω,I,J) des ROND. Soit M ∈ P un point du plan tel que M ,y R X xΩM , Ω . Les coordonn´ees de M dans les rep`eresR et R sont reli´ees par les formules :yY Ω RR X = cosϑ(x−x ) +sinϑ(y−y )Ω Ω , Y = −sinϑ(x−x ) +cosϑ(y−y )Ω Ω ~ ~ou` ϑ≡ (~ı,I) [2π] est une mesure de l’angle orient´e entre~ı et I. ~u = cosϑ·~ı+sinϑ·~ϑD´efinition : SoientR = (O,~ı,~) un ROND et ϑ∈R. On d´efinit les vecteurs : Le triplet ~v =−sinϑ·~ı+cosϑ·~ϑ (O,~u ,~v ) est un ROND appel´e rep`ere polaire d’angle ϑ.ϑ ϑ Produit scalaire et d´eterminant de deux vecteurs D´efinition : Lorsque ~u ou ~v est nul, on pose (~u|~v) = Det(~u,~v) = 0. Sinon Le produit scalaire de ~u et ~v est d´efini par (~u|~v) = k~ukk~vk cos(~u,~v). Le d´eterminant de ~u et ~v est d´efini par Det(~u,~v) = k~ukk~vk sin(~u,~v) Interpr´etations g´eom´etriques de ces deux notions. Proposition.— Soient ~u,~v deux vecteurs du plan. Alors ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si (~u|~v) = 0 ~u et ~v sont colin´eaires si et seulement si Det(~u,~v) = 0 Th´eor`eme.