Colle N°05: Fonctions usuelles

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+4 octobre 2012 PROGRAMME DE COLLE S04 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FONCTIONSUSUELLES(I) Fonctions logarithmes puissances et exponentielles 1 +⋆ +⋆Th´eor`eme-D´efinition*.— ln est l’unique primitive de sur R s’annulant en 1 : pour tout x ∈ R , on a donc xZ x dt +⋆ln(x) = . De plus, la fonction ln r´ealise une bijection strictement croissante de R sur R. t1 +⋆ +⋆Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour les logarithmes —. Pour tout couple (x,y)∈R ×R , ln(x×y) = ln(x) +ln(y) +⋆D´efinition : Soit a∈]0,1[∪]1,+∞[, on appelle logarithme de base a la fonction log : R → R d´efinie pour touta +⋆x∈R par log (x) = ln(x)/ln(a).a +⋆Th´eor`eme-D´efinition*.— La fonction ln est bijective deR surR. Son application r´eciproque,not´ee exp est appel´ee +⋆fonctionexponentielle.Il s’agitdoncd’une bijection strictementcroissantedeR surR .Ellev´erifiepour toutcouple (x,y) de r´eels : +⋆x∈R et y = exp(x) ⇐⇒ y∈ R , et x = ln(y) ′De plus la fonction exp est continue, d´erivable et pour tout x∈R, (exp) (x) = exp(x). 2 Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour l’exponentielle —. Pour tout couple (x,y)∈R , exp(x+y) = exp(x)×exp(y) +⋆D´efinition : Soit a∈]0,1[∪]1,+∞[, on appelle exponentielle de base a la fonction exp : R→ R r´eciproque dea +⋆log . Pour tout (x,y)∈R×R on a y = exp (x) ⇐⇒ x = log (y)a a a +⋆ +⋆ Th´eor`eme-D´efinition*.