Colle N°04: Fonctions numériques, rappels

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+26 septembre 2012 PROGRAMME DE COLLE S03 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´FONCTIONS NUMERIQUES : RAPPELS Fonctions monotones D´efinition : Soit f : I →R une fonction r´eelle. On dit que f est 2 croissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x ≤ x entraˆıne f(x )≤ f(x ) .1 2 1 2 1 2 2 d´ecroissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x ≤ x entraˆıne f(x )≥ f(x ).1 2 1 2 1 2 2 strictement croissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x f(x ).1 2 1 2 1 2 D´efinition : Une fonction est dite monotone si elle est croissante ou d´ecroissante sur I, elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement d´ecroissante sur I. Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e D´efinition : Soit f : I → J une fonction d´efinie sur un intervalle I, a` valeurs dans J. f est dite : injective si tout ´el´ement y de J a au plus un ant´ec´edent dans I. surjective si tout ´el´ement y de J a au moins un ant´ec´edent dans I. bijective si tout ´el´ement y de J a exactement un ant´ec´edent dans I. Proposition.— Point de vue ´equations —. Soit f : I → J une application. On consid`ere pour y ∈ J l’´equation d’inconnue x∈ I f(x) = y (1) f est bijective ssi pour tout y∈ F, l’´equation (1) admet une unique solution dans I. −1D´efinition : Soit f : I → J une bijection.