Colle N°03

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S03 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. NOMBRESCOMPLEXES Notation alg´ebrique des nombres complexes 2Th´eor`eme*.— Pour tout nombre complexe z∈C, il existe un couple de nombres r´eels (x,y)∈R , unique, tel que z = x+iy D´efinition : Le nombre r´eel x est appel´e la partie r´eelle de z et not´e Rez, y est appel´e la partie imaginaire de z et not´e Imz. Le nombre complexe x−iy est appel´e le conjugu´e de z, on le note z¯. ′• Rez =Rez2′ ′Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z,z )∈C de nombres complexes z = z ⇐⇒ ′• Imz =Imz Proposition.— Formules du binˆome et identit´e g´eom´etrique —. n nX X n2 n+1 n+1 k n−k n k n−k∀(a,b)∈C , ∀n∈N, a −b = (a−b)× a b et (a+b) = a b k k=0 k=0 Illustration :le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes. D´efinition : Soit z ∈ C un nombre complexe. Le nombre zz¯ est un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et√ √ 2 2on note |z| le nombre r´eel positif |z| = zz¯= Rez +Imz . Nombres complexes complexes de module 1 iθD´efinition : Soit θ∈R, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note e le complexe : iθe = cosθ+isinθ Proposition*.— Repr´esentation des nombres complexes de module 1 iθ• Pour tout nombre complexe z∈U, il existe θ∈R tel que z = e , ′2′ iθ iθ ′• Pour tout couple (θ,θ )∈R de r´eels, e = e ⇐⇒ θ≡ θ [2π] 2′Th´eor`eme.