Séminaire BOURBAKI Novembre 60ème année no

cours - matière potentielle : portant sur les analogues en dimension supérieure des faux plansexposéSéminaire BOURBAKI Novembre 2007 60ème année, 2007-2008, no 984 COVOLUME DES GROUPES S-ARITHMÉTIQUES ET FAUX PLANS PROJECTIFS [d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung] par Bertrand RÉMY INTRODUCTION À la fin des années 1980, G. Prasad a mis en évidence une formule calculant le covolume (convenablement normalisé) d'un groupe S-arithmétique dans le groupe to- pologique (produit de groupes algébriques) qui le contient naturellement [49]. Il y a un peu plus d'un an, G. Prasad et S.K. Yeung ont prouvé que les possibilités de construc- tion de faux plans projectifs (des surfaces de type général définies par des conditions topologiques simples) étaient extrêmement restreintes, tout en exhibant de nouveaux exemples [50]. Le but de cet exposé est d'expliquer le lien entre ces deux résultats et de faire un résumé succinct de chacune de leurs preuves. Autrement dit, c'est l'occasion d'aborder des mathématiques assez variées : groupes algébriques sur les corps locaux, géométrie complexe, arithmétique des corps de nombres... ayant néanmoins toutes un rapport avec les sous-groupes discrets des groupes de Lie, ou les généralisations obte- nues en considérant le groupe fondamental de variétés particulières. On revient notam- ment sur la formule de G. Prasad, publiée peu de temps après le calcul des nombres de Tamagawa des groupes réductifs sur les corps de nombres [35].corps global groupe algébrique espace projectif formule du covolume façon qualitative en théorie des groupes groupes arithmétiques sans torsion et de covolume variété passons au volume des quotients de groupes algébriques espaces symétriques