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Devoir Libre n?8 PSI MATHEMATIQUES ( a rendre le 27 Novembre ) Exercice 1 1) Etude d'une fonction On pose f la fonction definie par : ?x ?]? 1,+∞[, f(x) = 2x 1 + x ? ln(1 + x) a) Montrer que l'equation f(x) = x admet exactement une solution c > ?1. b) Montrer que : ?x > ?1, f(x) ≤ x. 2) Etude d'une suite recurrente On considere la suite recurrente u = (un)n?N, definie par ? ? ? u0 ?]? 1,+∞[ ?n ? N, un+1 = f(un) = 2un 1 + un ? ln(1 + un) a) On pose I = [0, 1]. Montrer que I est stable par f . b) Soit u0 ? I fixe. Montrer que la suite u est bien definie, et que ?n ≥ 0, un ? I. c) Demontrer que la suite u converge vers une limite . d) Determiner la valeur de . 3) Etude d'une serie numerique Soit la serie numerique ∑ n≥1 f ( 1 n ) . On pose Sn = n∑ k=1 f ( 1 k ) .

comparaison des convergences des series ∑

sk?1 avec la convention s?1

?n ?

convergence de la serie ∑

combinaison lineaire des sommes sk

devoir libre n?8

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Langue	Français

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1) Etuded’une fonction

◦ Devoir Libren8 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele27Novembre) Exercice 1

2x On posefﬁn´endior:paienotclfa∀x∈]−1,+∞[, f(x) =−ln(1 +x) 1 +x a)Mnono’´equatitrerquelf(x) =xadmet exactement une solutionc >−1. b)Montrer que :∀x >−1, f(x)≤x.

2)Etuded’unesuitere´currente

Onconside`relasuitere´currenteu= (un)n∈N,d´eﬁniepar  u∈]−1,+∞[ 0 2un ∀n∈N, un+1=f(un) =−ln(1 +un) 1 +un a)On poseI= [0,1]. Montrer queIest stable parf. b)Soitu0∈Irqrelauee.x´ntMoﬁustieuueﬁnie,etqbteidne´se∀n≥0, un∈I. c)teuiaselqurertnome´Duconverge vers une limite`. d)enuerrdlaevramliD´ete`.

3)Etuded’unese´rienum´erique  n  X X 1 1 Soitlas´erienume´riquef. On poseSn=f. n k n≥1k=1 1 ∗ a)Montrer que :∀k∈N,ln(k+ 1)−lnk≤ k   2 11 ∗ b)uq:eiuer´ndEde∀k∈N,− ≤f k+ 1k k   X 1 c)utanaltseelleuQieers´laderefluse.tattove´rerposoreed?rPcationsduxjustiﬁ n n≥1