Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. énoncé et corrigé
Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale GMEF

Sujets

Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole- 21 juin 2010 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétréest mis la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. EXERCICE 1 6 points Partie A En 2008, les ateliers Ouest et Est d’une même entreprise produisent respectivement 1100 et 900 pièces d’un unique modèle chaque jour. On estime que 2 % de la production de l’atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3 % de la production de l’atelier Est. 1.Compléter sur l’annexeàrendre avec la copie, le tableau suivant : Pièces PièTotaces non défectueuses défectueuses l Oue 22 st Est Tota 200 l 0 2.On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilitéd’être prélevées. a.On définit lesévènements suivants : –E:« la pièce prélevée est produite dans l’atelier Est », –D: « la pièce prélevée est défectueuse ». p(D) On note la probabilitéde l’évènementE. p(E)p(D)p(EÇD)p(EÈD) Calculer , , puis . b.On a prélevéau hasard une pièce dans la production de l’entreprise. Elle est défectueuse. Calculer la probabilitéqu’elle provienne de l’atelier Ouest. Partie B En 2009, la production journalière est la suivante : Pièces PièTotaces non défectueuses défectueuses l Oue 20 980 100 st 0 Est 24 776 800 Tota 44 1756 200 l 0 Chaque pièce coûte 7€àproduire et est testée. La réparation d’une pièce défectueuse produite dans l’atelier Ouest coûte 3€et celle d’une pièce défectueuse produite dans l’atelier Est 5€ Chaque pièce est ensuite vendue 10€. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l’atelier Ouest rapporte :10%7%3soit 0€àl’entreprise. On appelleBle gain journalier de l’entreprise. 1.Calculer le gain journalierBde l’entreprise.

2.Durant l’année, les ateliers fonctionnent 300 jours. Estimer le gain annuel, expriméen euros, de l’entreprise. 3.Le chef d’entreprise envisage d’éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les pièces non défectueuses. Cette stratégie lui coûte 100 000€par an compte tenu du recyclage. Cette stratégie est-elle rentable pour l’entreprise ? EXERCICE 2 4 points Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directd’unitégraphique 2 cm. (O;u,v) p On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2 3 2 1.On notePle polynôme défini pour tout nombre complexezparP(z)1z%3z#4z#8 P(%1)10 a.Vé.rifier que b.Déterminer deux nombres réelsaetbtels que pour tout nombre complexez, 2 P(z)1(z#1(z#az#b! ! P(z)10 c.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 2.On note A, B ez1 %1z12#2i z12%2i t C les points du plan, d’affixes respectivesA,BetC. a.Placer les points A, B et C dans le repère(O;u,v) z z z b.Déterminer le module et un argument des nombres complexesA,BetC. En déduire uneécriture exponentielle de ces trois nombres. c.Déterminer l’aire en cm2 du triangle ABC. PROBLÈME 10 points Partie A y'#0,1y13 On considère l’équation différentielle notée (E) : oùydésigne une fonction inconnue de la variable #¥ réellet, dérivable sur l’intervalle[0; [. z'#0,1z10 1.Résoudre l’équation différentielle notée (F) : oùzdésigne une fonction inconnue de la variable t[0;#¥[ réelle, dérivable sur l’intervalle . [0;#¥[y(t)1z(t)#30 2.On pose, pour tout nombre réeltappartenantàl’intervalle , , oùla fonctionzest solution de l’équation différentielle (F). a.Démontrer que la fonctionyest solution de l’équation différentielle (E). y(0)120 b.Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle vérifiant . Partie B t La température en degrés Celsius (°C) du lubrifiant d’un moteur varie en fonction du tempsde fonctionnement expriméen heures. %0,1t ft[0;#¥[ La fonction est définie pour tout nombre réelde l’intervalle parf(t)130%10e 1.Déterminer la température du lubrifiant : a.Àl’arrêt. b.Au bout de vingt quatre heures. 2.On s’intéresse au comportement de la fonctionfen+∞. limf(t) a.Déterminer . x|¥

b.Donner une interprétation graphique du résultat obtenu. c.Donner une signification concrète de ce résultat pour le lubrifiant. f'f 3.On note la fonction dérivée de la fonction. f'(t)t[0;#¥[ a.tout nombre rCalculer pour éelappartenantàl’intervalle . f[0;#¥[ En déduire le sens de variation de la fonction.sur l’intervalle f[0;#¥[ b.Construire la courbe représentative de la fonctionsur l’intervalle [0;#¥[ dans le repède l’annexe qu’on rendra avec la copie.re orthogonal c.Àquel instant la température du lubrifiant est-elle de 28°C? Donner une valeur approchéeàl’heure près puis àla minute près du résultat. d.Calculer la température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure de fonctionnement. On rappelle que la valeur moyenne d’une fonction g dérivable sur [a ; b] est :

1b 1( ) Vmdxg x . òa b%a

Correction Exercice 1 6 points Partie A 1. Tableau récapitulatif : Pièces défectueuses Pièces non défectueuses Total Ouest 22 1078 1100 Est 27 873 900 Total 49 1951 20000 900 49 · · 2. (a)p(E!1 10, 45p(D!1 10, 0245 2000 2000 27 · p(EÇD!1 10, 0135 2000 900 49 27 922 · p(EÈD!1p(E!#p(D!%p(EÇD!1 # % 1 10, 461 2000 2000 2000 2000 Ç p(D E!( !22 p DÇO (b)p(E!1 1 1 »0, 449 D p(D!p(D!49 Partie B En 2009, la production journalière est la suivante : Pièces Pièces non Tota défectueuses défectueuses l Oue 20 980 100 st 0

Est 24 776 800 Tota 44 1756 200 l 0 1.·Gain pour une pièce non défectueuse :10%713€. · Gain pour une pièce défectueuse provenant de l’atelier Ouest : 10%7%310€ . ·Gain pour une pièce défectueuse provenant de l’atelier Est :10%7%512%€. D’où le gain journalier de l’entreprise : 756 3 20 0 2 B11´ #´ # 4´(%2!15220€ . 300 15660 2. Le gain annuel est de :Ga15220´ 100€. 56 3 5268€ 3. Le gain journalier est deGJ117´ 1. Le gain annuel, compte tenu de l’éviction des pièces défectueuses est alors de : G'15268´300%10000011480400€G' aeuros ; d’oùa0Ga. Cette stratégie n’est donc pas rentable pour l’entreprise. Exercice 2 4 points 3 2 1. (a)P(%1!1(%1!%3(´1!%4#(´1!%8# 11%3%4%8#0 . 2 3 2 2 3 2 (b)P z1z#1(z#az#b!1z#az#bz#z#az#b1z#(a#1!z#(b#a!#z b ( ! ( ! 3 2 3 2 SoitP(z)1z#(a#1!z#(b#a!z#b . Or,P(z)1z%3z#4z#8 . ìa#11 %3 ï # 1 Donc, par identification des coefficients, on obtient :íb a4Ûa1 %4et b18 ï b18 î 2 P(z!1z#1(z#az#b! Et on a : ( ! 2 2 c)P z10Ûz#1(z%4z#8!10Ûz#110ou z%4z#810 . ( ! ( ! Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul, soit : •z#110Ûz1 %1, ou 2 2 • : z%4z#810% 1 D 1 ´ 1 % ´ % 1 % 0. b4ac16 4 16 016 32 1 8 Le discriminant est négatif, il y a deux solutions complexes conjuguées : %b%id%4 4%i%b#i%d4#4i z11 1 2%2iouz11 1 2#2i 12 2a22a2 1{% % #} Conclusion :S2 21 ; i2; 2 i. 2. (a) Voir graphique ci-dessous . z AeqA1argA1(;!1p#pkÎZ. (b) • Le module deAestz1 %111.L’anglz u OA2k ip On a finalement :z1e. A 2 2 • Le module dezBestz12#214#41812 2| B ì a2 2 cosq11 1 ïB z2 2 2 ïB q1argz Un argumentB Bvérifie les relations :í.donc b2 2 ï sinq11 1 B ï z22 2 îB uuu p ip/ 4 q1argz1(u;OB!1 #2kpkÎZ. On a finalement :z12 2e. B B B 4 •z1z. Doncz1z1z1.2 2 C B C B B

ì a2 2 cosq1 1 1 ïC z22 2 ïB q1argz Un argumentC Cvérifie les relations :í. b%2 2 ï sinq1 %1 1 C ï z2 2 2 îB uuu p %ip/ 4 Doncq1argz1(u;OC!#1 % 2kpkÎZ. On a finalement :z12 2e. C C C 4 p Remarque : on peut conclure en disant :q1argz1argz1 %argz1 % #2kpkÎZ C C B B 4 Puisquez1zy C B

c. Les affixes des pointsBetCsont conjuguées, les pointsBetCsont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses. z12 On poseI, milieu de [BC] le point d’affixeI. Le pointAest situé sur l’axe des abscisses, le triangleABCest donc isocèle enAet BC´AI son aire A vérifie :A1u.a 2 BC1z%z1 %4i14i14 C B= 4 I1z%z1 13 etAI A3 . et une unité d’aire 2 valant u.a12´214cm BC´AI4´3 2 Par conséquent :A1u.a1 ´4124cm. 2 2

A -1

| v

-1

-2

| u

I 2

Problème 10 points Partie A %0,1t 1. Les solutions de l’équation différentielleFsont du typez(t)1k eoùkest un réel. ( ! 2. a.y'(t)#0,1y(t)1z'(t)#0,1(z(t)#30)1z'(t)#0,1z(t)#313 . Donc,yest solution de l’équation

différentielleE ( ! %0,1´0 b.y(0)1z(0!#301ke#301k#30. Or,y(0)120 donck#30120Ûk1 %10 . %0,1t y(t)1 %10e#30 Partie B %0,1t Soitf(t)1 %10e#30 %0,1´0 1. a. À l’arrêt,t10d’où :f(0)1 %10e#301 %10#301du lubrifiant à l’arrêt est20 . La température e 20°C. %0,1´24 2,4 b. Au bout de 24 heures,t124 d’où :f(0)1 %10e#301 %10e#30129, 09 La température du lubrifiant au bout de 24 heures est de 29,09°C.

2. a. Calcul de la limite defen#¥: %0,1t%0,1t lim%10e1 %10´lime10(a10%,100!limf(t)130 . donc, par somme des limites on a : x|#¥ x|#¥ |#x¥ b. La courbe représentative de la courbefadmet une asymptote horizontale en#¥d’équationy130 c. Au bout d’un moment d’utilisation, la température du lubrifiant se stabilisera à presque 30°C. %0,1t%0,1t 3. a.f'(t)1e#01e20 .puisque la fonction exponentielle étant toujours positive, on en déduit quef'(tstrictement positif pour tout) est t, et quefest strictement croissante sur [0;#¥[ . t0#¥ f'(t) + #¥ f(t) 20 Tableau de variation récapitulatif : b. Voir courbe. c. La température est de 28°C lorsquef(t) = 28 :

ln 0, 2 %0,1t%0,1t f(t)128Û %10e#30128Û %10e1 %22Û0%,1t´ln´el1n 0, 2t%Û 1 tÛ16», 01 0,1 La température du lubrifiant est de 28°C après 16 heures d’utilisation à l’heure près et après 16 heures et 6 minutes à la minute près. 10 1b11011 1 %0,1x%0,1t1%0,%5 V1g(x)dx1(30%10e)dx130t#100e1300#100e%150#100e ò ò m ( ! ( ! ( ! a5 b%a10%5 555 5 d. %1%0,5 V130%20e%e»25, 23 m ( ! La température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure est de 25,23°C