Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - 2011

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Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

101 groupesmonogènes/cycliques-exemples Flash Jury : il convient de donner des exemples autres que dans Z (sous groupes de (K[X ], +), de (R, +), etc.). On apprécierait des exemples de groupes non monogènes à la fois dans le cas commutatif et non commutatif. Il faut ici maitriser les techniques de calcul telles que le calcul de φ(n) et éviter les développements sans grand rapport avec le sujet tels que le théorème de Wilson. On peut aussi évoquer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe soit cyclique, les sous-groupes d’un groupe cyclique, etc. Enﬁn, les sous-groupestenoqévsuédetnu’étnitêrimilraétpde,Rtorposvurapport à la situation, ont maintes fois donné lieu à des démonstrations peu rigoureuses. Pré requis : caractérisation des éléments de <P> lorsque P est une partie d'un groupe, théorèmes de factorisation, Lagrange, ppcm, pgcd, Gauss, et pour la fin : congruences et théorème chinois. TOUT EST DANS D-J M, Gras, LFA, Hauchecorne et AlFakir 1) Sous-groupesmonogènes et cycliques. PB : Comment trouver et décrire les sous groupes d'un groupe ? Tout sous groupe peut-être considéré comme engendré par une partie. On commence par le cas où la partie est un singleton. Théorème et définition 1 : morphismeuniversel deℤgroupesdans G. Groupes monogènes, cycliques. Conséquences : règles de calcul sur les puissances. Exemples OUI :ℤ, {1, i, -1, -i}, sous groupe engendré par un cycle ou une transposition dans Sn, groupe des rotations d'un polygone régulier. NON : les non abéliens, les non dénombrables, un non abélien dénombrable : le groupe du rectangle, un abélien dénombrable : le groupe de Klein.

Théorème et définition 2 : Soit G un groupe, a dans G . n <a> est cyclique si et seulement s'il existe n>0 tel que a=e. Si ceci a lieu et que l'on prend n minimum pour cette propriété, alors : n-1 m <a>={e,a,...a }et #<a>=n et∀m, a=e <=> n|m et je dis que n est l'ordre de a. Corollaire : <a> est monogène infini si et seulement si il est isomorphe àℤ. Exemple : définition des groupes de frises dans le plan.

Théorème 3 : Soient a et b d'ordres m et n dans G tels que ab=ba. On suppose que m et n sont premiers entre eux. Alors ab est d'ordre mn. Contre exemple de deux éléments d'ordres finis dont le produit n'est pas d'ordre fini.

Propriété : les sous groupes deℤ. k Théorème 4 : ordre de adans <a> : théorème II.5.4 de LFA. 2) Conséquencesdu théorème de factorisation : il faut s'attendre à devoir le réciter... Théorème 5 :ℤ /nℤ.est cyclique et tout groupe cyclique d'ordre n lui est isomorphe etℤest le seul monogène infini. CSQ : on étudie particulièrement les sous groupes deℤ /nℤ.

Théorème 6 : Pour tout diviseur de n il existe un unique sous groupe deℤ /nℤet les générateurs de ℤ /nℤsont les classes des entiers premiers avec n. CSQ : si un groupe possède deux sous groupes de même ordre, alors il n'est pas cyclique. ∑ n= d Corollaire : d∣n Exemples : treillis des sous groupes deℤ /100ℤ.Dès que n>2, Snn'est pas cyclique.

3) Critèresde cyclicité Critère 1 ← DEVELOPPEMENT avec le théorème 3 qui sert dans la preuve. Tout groupe abélien fini d'ordre sans facteur carré est cyclique. Critère 2 : CNS pour que le produit de deux groupes soit cyclique. d Critère 3 :Soit G un groupe d'ordre n. Si, pour tout diviseur d de n, #{x∈G| =e}≤d, alors G est x cyclique.

Conséquence : tout sous groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique Application : si P est une partie du plan de cardinal n≥2 telle que #(Is(P))=2n alors P est un polygone régulier. CF D-J M th 235 Prolongement à évoquer à l'oral seulement : critères de cyclicité des Z/nZ*.