Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Langue
Français
Avec correction. Ds du 21-02-2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S
Voir
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S
Publié par
Langue
Français
Lundi 21 Février 2011. Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée. EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IRpar f(x) = sin x (1 + cos x). | | Cfest la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a.Montrer que f est périodique de période 2p. b.f est%elle paire ou impaire ? c.Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p]. 2.par f’(x) = 2 cos²x + cos xMontrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR%1. 3.Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a.Factoriser le polynôme 2X² + X%1 b.En déduire une factorisation de f’(x). c.Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. d.Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. e.Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p]. | 4.Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (O ;i ). 5.a.Quelle est l’équation de la tangente (T) à Cf au point A(p; 0) ? c.Quelle est l’équation de la tangente (T’) à Cf au point O ? 6.Construire Cf sur [%2p; 2p]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables). EXERCICE 2. 7 points OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AOB = 2a(radians). H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. 1.CalculerAH en fonction dea. En déduire AB (en fonction dea). 2.CalculerAK (en fonction dea) a.En utilisant le triangle OAK. b.B OEn utilisant le triangle AKB, après avoir calculé Aen fonction dea.c.En déduire l 'expression de sin (2a) en fonction de sinaet cosa. 3.Calculer, (en fonction dea) a.OK. b.KB en utilisant le triangle AKB. c.En déduire l'expression de cos (2a) en fonction de sina. d.En déduire l’expression de cos (2a) en fonction de cosa. 4.Vérifier les formules obtenues avec2a=p/3. suite au dos …..
EXERCICE 3. 3 points Connaissances requises : (à recopier et compléter …) cos(p/6) = …cos(pcos(/3) = …p/4) = … sin(p/6) = …sin(p/3) = …sin(p/4) = … sina = sin bÛ… cosa = cos bÛ… sin²a+ cos²a = … on donne : sin (2x) = 2 sin x cos x 1 +3 On se propose de résoudre, dans [0 ;pde deux manières.], l’équation (E) : cos x + sin x = 2 1.(E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant. 3 2.Montrer que sur [0 ;p], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 +. 2 En déduire les solutions de (E) sur [0 ;p]. EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. | u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r eta1. Donner les relations liant a, b, r eta. | | 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . | a.Donner la définition de v. b.En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r eta. c.En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (;a) pouraÎ[0 ;p/2] cos(a) + sin(a)
Exercice 1. f est la fonction définie surIRpar f(x) = sin x (1 + cos x). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2p. Il faut pour cela que : pour tout x deDf, x + 2pÎDfet f(x + 2p) = f(x) "xÎIR, x + 2pÎIRet f(x + 2p) = sin(x + 2p) (1 + cos(x + 2p)) = sin x (1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2p%périodiques. Donc f est 2p%périodique. b. f est%elle paire ou impaire ? Il faut pour cela que : pour tout x deDf, − xÎDfet f(− x) = f(x) (paire) ou f(−x) = − f(x) (impaire) "xÎIR,%xÎIR et f(%x) = sin(%x)(1 + cos(%x)) =%sinx (1 + cos x) =%f(x) Doncf est impaire. c. Justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p]. f étant périodique il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2p parexemple [%p;p], le reste de la courbe | s’obtiendra par translations de vecteurs k´2p iavec k entier relatif f étant impaire, Cfsur [0 ;est symétrique par rapport à l’origine O il suffit donc d’étudier fp], la symétrie par rapport à O nous donnera Cfsur [%p;p] 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie par f’(x) = 2 cos²x + cos x%1. sin x et cos x sont dérivables surIR donc f, produit des fonctions x|sinx et x|1 + cos x est dérivable surIRf’(x) = [sin x]’[1 + cos x] + [sin x][1 + cos x]’ = cos x(1 + cos x) + sin x(%sin x) = cos x + cos²x%sin²x or sin²x = 1%f’(x) = cos x + cos²xcos²x donc%(1%cos²x) = 2 cos²x + cos x%1 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X%1 Ce trinôme a pour racine évidente%1, l’autre racine étant X’, on a%1´X’ =%½ donc X’ = 1/2 d’où 2X²+ X%1 = 2(X + 1)(X%½) b. En déduire une factorisation de f’(x). f’(x) = 2X² + X%1 = 2(X + 1)(X%½) avec X = cos x donc f’(x) = 2(cos x + 1)(cos x%½) c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. x 0/3pf’(x) = 0Ûcos x + 1 = 0 ou cos x%½ = 0Ûcos x =%1 ou cos x = ½ f ’(x)+ 0% 0 dans [0 ;p]: cosx =%1 quand x =p3 3/4 cosx = ½ quand x =p(x)/3 f 0 0 d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. dans [0 ;p]x + 1: cos³0 car cos x³%1 donc f’(x) a le signe de cos x%½ pour0£x£p/3, cos x³½ donc cos x%½³0 donc f’(x)³0 pourp/3£x£p, cos x£½ donc cos x%½£0 donc f’(x)£0 e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p]. || 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de Cfi ). avec l’axe (O ; | Les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (O ;i ) sont les solutions de l’équation f(x) = 0 f(x) = 0Ûsin x = 0 ou cos x =%1 or, dans [0 ;p], sin x = 0 quand x = 0 ou x =pet cos x =%1 quand x =p| donc Cfi ) aux points d’abscisses 0 etcoupe l’axe (O ;p. OU : les valeurs qui annulent f(x) dans [0 ;p] sont données dans le tableau de variation. 5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à Cf au point A(p; 0) ? On a vu que f’(p) = 0 donc la tangente à Cfau point A(p; 0) est l’axe des abscisses. b. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à Cf au point O ? Latangente (T’) à Cfau point O (0 ;0) a pour équation : y = f’(0)(x%0) + f(0) or f(0) = 0 et f’(0) = 2(cos 0 + 1)(cos 0%½) = 2donc (T’) a pour équation y = 2x
6. Construire Cf sur%2p; 2p
y
1
p p pp p pp pp pp pp p pp pp pp p pp p 2 -11 /6 -5 /3 -3 /2 -4 /3 -7 /6- -5/ 6-2 /3 -/ 2- /3- /60 /6 /3 /22 /35 /67 /64 /33 /25 /311 /62x
-1
EXERCICE 2. OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AOB= 2a. H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. la hauteur (OH) est aussi médiane et bissectrice, donc H est le milieu de [AB] et AOH = BOH =a1. Calculer AH en fonction dea. En déduire AB (en fonction dea). Dans AOH rectangle en H, AH = AO sinadonc AH = sina. O De plus AB = 2AH donc AB = 2 sina2. Calculer AK (en fonction dea) a. En utilisant le triangle OAK. dansOAK rectangle en K, AK = OA sin 2adonc AK = sin 2aK b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AB Oen fonction dea. ˆ ˆ dansAKB:ABO=BAO= ½ (p- 2a) =p/2 –aˆ et AK = AB sinABO= AB sin(p/2%a) = AB cosaA or AB = 2sinadonc AK = 2sinacosaH c. En déduire l 'expression de sin 2aen fonction de sinaet cosa. AK= sin 2aet AK = 2sinacosadonc sin2a= 2sinacosa3. Calculer, (en fonction dea) a. OK.dans OAK rectangle en K, OK =OA cos2a, donc OK = cos2ab. KB en utilisant le triangle AKB. ˆ dans AKB rectangle en K, KB = AB cosABO= (2sina) cos(p/2%a) = (2sina)(sina) = 2sin²a. Donc KB = 2sin²ac. En déduire l'expression de cos 2aen fonction de sina. KÎ[OB] donc OK + KB = OB c’est à dire cos2a+ 2sin²a= 1. Donc cos2a= 1 – 2sin²ad. En déduire l’expression de cos 2aen fonction de cosa. cos2a= 1%2sin²aet on sait que sin²a+ cos²a= 1 c’est à dire sin²a= 1%cos²a onen déduit que cos2a= 2 cos²a%1. 4. Vérifier les formules obtenues avec 2a=p/3. 2a=p/3 donca=p/6 sin2a= 2sinacosaÛsinp/3 = 2sinp/6 cosp/6 Û3 /2)/2 = 2(1/2)( 3 ÛDonc sin2/2 =3 /2 ce qui est vrai. 3a= 2sinacosaest vérifié pour 2a=p/3 cos2a= 1 – sin²aÛcosp/3 = 1 – 2sin²p/6 Û½ = 1 – 2(1/2)² Û½ = ½ ce qui est vraidonc cos2a= 1 – 2sin²aest vérifié pour 2a=p/3
B
EXERCICE 3. cos(p/6) =3/2cos(p/3) = 1/2cos(p2/2/4) = Connaissances requises : sin(p/6) = 1/2sin(p/3) =3/2sin(p2/2/4) = sina = sin bÛa = b + 2kpou a =p− b + 2kp= cos b cosaÛa = b + 2kpou a = − b + 2kp sin²a+ sin²b = 1sin 2x =2 sinx cosx 1 +3 On se propose de résoudre, dans [0 ;pde plusieurs manières.], l’équation (E) : cos x + sin x = 2 1. (E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant. cos(p3/2 cos(/6) =p31 +1 3/3) = 1/2 et et+ =… donc, dans [0 ;p],p/6 etp/3 sont solutions de (E) sin(p/6) = 1/2sin(p/3) =3/2 22 2 3 2. Montrer que sur [0 ;p.], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 + 2 1 +3 1+ 3 cos x + sin x =Û)²[cosx + sinx]² = (car les deux membres de l’égalité sont positifs2 2 1 + 23 + 33 Ûdonc l’équivalence est démontrée.= 1 +[cosx + sinx]² = 4 2 En déduire les solutions de (E) sur [0 ;p].3 3 or [cosx+ sinx]² =1 +Ûcos²x + sin²x + 2 sinx cosx = 1 + 2 2 3 Û1 + sin2x = 1 + 2 3 Ûsin2x == sin(p/3) 2 Û2x =p/3 + 2kp ou 2x =p−p/3 + 2kpÛx =p/6 + kp ou x =p/3 + kp Dans[0 ;p], les solutions sontp/6 etp/3 EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. | u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r eta1. Donner les relations liant a, b, r eta. a = r cosa on sait queet r =a² + b² b = r sina |||| 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . || a. Donner la définition de v. | || || vest le vecteur tel que ||u|| = ||v|| et (u , v) =p/2 + 2kpavec kÎZb. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r eta. | lescoordonnées polaires de v sont donc r eta+p/2 c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. |a' = r cos(a+p/2) soit a’ et b’ les coordonnées cartésiennes de v : b' = r sin(a+p/2) a' = - r sinaa' = -b b' = r cosab' = a or cos(a+p/2) = − sinaet sin(a+p/2) = cosadonc d’où EXERCICE bonus. Lieu de points. 1 Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (;a) pouraÎ[0 ;p/2]cos(a) + sin(a) 1 M ayant pour coordonnées polairesetacos(a) + sin(a) cos(a)sin(a) ses coordonnées cartésiennes sont xM= et yM= cos(a) + sin(a)cos(a) + sin(a) cos(a) + sin(a) On a xM+ yM1 donc M est sur la droite d’équation x + y = 1= = cos(a) + sin(a) quanda= 0, on obtient le point A (1 ; 0) quanda=p/2, on obtient le point B (0 ; 1) 0£a£p/2 donc M est dans le « premier quadrant » du repère donc l’ensemble cherché est le segment [AB].
