PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 25 7. Estimation de parametres dans un systeme d'EDO On suppose que l'equation d'etat (qui modelise l'evolution du systeme) est un systeme d'equations differentielles ordinaires (EDO) : { dyi dt = fi(t, y, a), yi(0) = y0i, pour i = 1, . . . , N , et ou on note y = (y1, . . . , yN ) et a = (a1, . . . , ak) ? Rk. L'integration du systeme d'EDO permet de calculer les solutions yi(a, t) pour t ≥ 0. On suppose qu'on dispose d'observations a certains instants : yi(tj), j = 1, . . . ,M . On note yobsi,j la valeur observee (ou mesuree) de la solution yi a l'instant tj . Le but est d'estimer les parametres a a partir des observations. La formulation par moindres carres consiste a definir la fonctionnelle suivante : J(a) = 1 2 M∑ j=1 N∑ i=1 [yi(a, tj)? y obs i,j ] 2 Le probleme d'identification peut ainsi se reecrire sous la forme du probleme d'optimisation suivant : on cherche a tel que J(a) = inf a?K J(a) ou K est l'ensemble des parametres a admissibles.

• aij


• aij etant


• algorithme de gradient


• systeme d'edo


• parametres


• norme choisie pour la regularisation dependra de l'espace considere


• dt