M2AO Correction TD3

M2AO, Correction TD3 Schémas implicites, schémas de Runge-Kutta Exercice 1 Stabilité asymptotique et schémas implicites. 1. La solution générale de l'équation di?érentielle est donnée par u(t) = ? e?150t + 1 5 où ? est une constante arbitraire. La condition initiale fixe ? = 4/5. 2. Soit h > 0 un pas de temps. On définit une suite (vn) d'approximation de (u(hn)) par récurrence v0 = 1 et, pour n ? N , vn+1 = vn + h (?150 vn + 30) . Alors, pour tout n ? N, on a vn+1 ? 1 5 = (1 ? 150h) ( vn ? 1 5 ) . D'où, pour tout n ? N, vn = 1 5 + 4 5 (1 ? 150h)n . Remarque : Pour simplifier la relation de récurrence, on a soustrait 1/5 de manière à profiter du fait que la constante 1/5 est une solution du schéma. En général, une solution de l'équation di?érentielle ne fournit pas une solution du schéma, mais une solution approchée quand h? 0 : c'est ce que l'on appelle la consistance du schéma. En revanche, lorsque le schéma est au moins d'ordre p, une solution polynomiale de degré inférieur à p (si elle existe) fournit bien une solution du schéma, c'est une conséquence du fait que le développement de Taylor à l'ordre

• solution polynomiale de degré inférieur


• solution générale de l'équation di?érentielle


• solution de l'équation


• schémas de runge-kutta


• développement de taylor


• problème raide