L'essentiel des developpements limites

L'essentiel des developpements limites 9 fevrier 2011 I Definition de developpement limite – Condition suffisante d'existence. 1. Ce qu'il est bon de connaıtre sur les « petits o » Dans notre contexte, les fonctions sont etudiees au voisinage d'un point x0 (tres souvent x0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x ? x0)k, k ? N. Il est bon d'avoir toujours en tete le comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x0 (cf figure) Il faut egalement avoir a l'esprit les proprietes suivantes concernant la manipulation des « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f definie au voisinage de x0 est negligeable devant (x? x0)k et on note f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , si f s'ecrit au voisinage de x0 sous la forme : f(x) = (x? x0) k ?(x), ou est definie au voisinage de x0 et verifie lim x?x0 ?(x) = 0. Ainsi f(x) = o x?x0 (1) si et seulement si lim x?x0 f(x) = 0. Propriete 1 Soit f definie au voisinage de x0 ? R. On suppose f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , pour un certain entier k ? N.

• voisinage


• puissances de x? x0 d'exposant inferieur


• sin


• formule de taylor-young


• sin ?


• definie au voisinage de x0 ?