Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes

Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes ? Tanguy Rivoal Institut de Mathematiques de Jussieu CNRS UMR 7586, Theorie des nombres, case 247 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France email : 1 Introduction L'etude diophantienne des valeurs des fonctions polylogarithmes Lis(z), definies pour z ? C , |z| ≤ 1 et s ≥ 1 (et z 6= 1 si s = 1) par Lis(z) = ∞∑ k=1 zk ks , en des points rationnels a ete abordee dans [Ni] et [Ha], entre autres. Nikishin [Ni] montre par exemple que, pour tout entier a ≥ 1, si p ? N, q ? ?N et |q| > pa(4a)a(a?1), alors les nombres 1,Li1(p/q), Li2(p/q), . . ., Lia(p/q) sont Q?lineairement independants. Hata [Ha] etablit les resultats correspondants lorsque p/q > 0. Dans cet article, nous abordons ce probleme sous un angle different en minorant la dimension ??(a) = dimQ(Q+QLi1(?) +QLi1(?) + · · ·+QLia(?)) pour tout rationnel ? = p/q, et non pas soumis a des restrictions portant sur p et q, comme dans [Ni] et [Ha].

• kl z


• parametre superieur avec le parametre inferieur


• rationnel positif


• besoin du critere d'independance lineaire


• resultats correspondants


• identite integrale d'euler