Examen mathématique du 12 juin Duree 2h Sujet A

Examen du 12 juin 2006 - Duree 2h - Sujet A Aucun document ni instrument de calcul n'est autorise. Exercice II (7 points) Les reponses aux questions qui suivent doivent etre completement justifiees. II-1. Soient F et G deux sous-espaces d'un espace E. L'implication suivante est-elle vraie ? dim(F ) + dim(G) = dim(E) =? F ? G = E Reponse. Non. Prendre F = G une droite de R2. II-2. La matrice M = ? ? 1 ? √ 2 0 0 1 √ 2 0 0 1 ? ? est-elle diagonalisable ? Reponse. Non. N'ayant que 1 pour valeur propre, si M etait diagonalisable, elle serait semblable a I 3 . Ce qui conduit a : M = P?1.I 3 .P = I 3 . II-3. Est-il vrai qu'une matrice inversible reelle est trigonalisable ? Reponse. Non, il su?t de trouver une matrice inversible dont le polynome caracteristique n'est pas scinde. Par exemple : ( 0 1 ?1 0 ) . Remarque. Cette matrice represente dans la base canonique la rotation r definie par r(e 1 ) = ?e 2 , r(e 2 ) = e 1 .

• matrice complexe de polynome caracteristique ?


• matrice represente dans la base canonique


• polynome caracteristique


• egalite precedente