UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET D'EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 3 heures Analyse 2-Semestres 3 et 3 bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Juin 2009 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Pour tout entier n positif, soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = √ n2 + 2nx + 1? n . a) Determiner la limite simple f de la suite (fn). b) Montrer que la suite (fn) converge uniformement sur tout intervalle [ 0, a ] . c) La suite (fn) converge-t-elle uniformement sur [ 0, +∞ [ ? Exercice 2 Montrer que la serie de terme general 2nn! nn est convergente. Exercice 3 a) Montrer que la serie entiere de terme general sin2 nxn converge si |x| < 1. b) Calculer la somme ∞ ∑ n=1 sin2 nxn , lorsque x ? ]?1, 1 [ . Exercice 4 a) Trouver le rayon de convergence R de la serie entiere de terme general (?1)nx2n (2n + 1)(2n + 2) . b) La serie entiere converge-t-elle pour x = R ? c) Calculer ∞ ∑ n=0 (?1)n (2n + 1)(2n + 2) .

• rayon


• duree du sujet


• serie


• sujet des examens


• somme ∞


• e? √


• equivalent de e? √