Universite de Nancy I Master

Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Corrige de l'examen du 22 janvier 2009 (deuxieme session, duree 3h) – I – 1. Tout d'abord, remarquons que Yn est une variable aleatoire bornee (elle est bornee par 1(cos?)n . Ainsi les variables considerees ont bien integrables et admettent bien des esperances conditionnelles. Pour simplifier les ecritures, posons Zn = ?(Sn ? c?d2 )) : on a cos(Zn+1) = cos(Zn+?Xn+1) = cos(Zn) cos(?Xn+1)? sin(Zn) sin(?Xn+1). Zn est Fn-mesurable, donc E[cos(Zn+1)|Fn] = cos(Zn)E[cos(?Xn+1)|Fn]? sin(Zn)E[sin(?Xn+1)|Fn]. Cependant cos(?Xn+1) est sin(?Xn+1) sont independants de Fn, donc E[cos(?Xn+1)|Fn] = E[cos(?Xn+1)] = cos?, tandis que E[sin(?Xn+1)|Fn] = E[sin(?Xn+1)] = 0. Ainsi E[cos(Zn+1)|Fn] = cos? cos(Zn), d'ou il vient que E[Yn+1|Fn] = Yn, ce qui montre bien que Yn estd'ou il S2n+1 = (Sn +Xn+1)2 = S2n +X2n+1

• theoreme de conver- gence monotone


• deduit avec la question precedente


• martingale adaptee


• theoreme de continuite sequentielle decroissante


• xt ≥


• xt ?


• theoreme de convergence dominee