Universite de Nancy I Licence

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nancy I Licence 3 Integration et Probabilites Examen du 12 janvier 2010 duree 3h Exercice 1 (≈ 7 points) 1. On sait que pour tout u ?] ? 1, 1[, 11?u = ∑+∞ n=0 un. En particulier, pour x ? [0, 1[, ?x3 ?] ? 1, 1[ et on a 11+x3 = ∑+∞ n=0(?1)nx3n. Posons pour x ? [0, 1] et N ≥ 1 : fN (x) = ∑+∞ n=0(?1)nx3n. On a fN (x) = 1?(?x 3)N+1 1+x3 , d'ou |fN (x)| ≤ |1|+|x| 3(N+1) 1+x3 ≤ 21+x3 = g(x). Comme g est bornee sur [0, 1], g y est integrable. On sait que pour x ? [0, 1[, limN?+∞ fN (x) = 11+x3 . Ainsi sur [0, 1] fN (x) converge ?-presque surement vers 11+x3 lorsque N tend vers l'infini. D'apres le theoreme de convergence dominee, on a donc ∫ [0,1] 1 x3 + 1 d?(x) = limN?+∞ ∫ [0,1] fN (x) d?(x).

• mesurable positive


• lim p?


• derivee du denominateur au numerateur


• continuite de l'expo- nentielle


• inegalite de markov


• theoreme de transfert


• xp ≤