Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Option: M2AO

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Serie n?2 : Resolution numeriques des EDO. Exercice 1. Proprietes de stabilite du schema d'Euler a) Un schema d'Euler implicite Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre un { un+1 = un + h f(tn+1, un+1), u0 = u0. b) Un schema d'Euler modifie Montrer que le schema suivant est convergent et d'ordre deux ? ?????? ?????? un+1/2 = un + h 2 f(tn, un), un+1 = un + h f(tn+1/2, un+1/2), tn+1/2 = tn + h/2, u0 = u0. c) Application. Soit l'equation differentielle (k > 0) y? + k y2 = 0, y(0) = 1. (i) Resoudre cette equation differentielle. Quelle est sa limite en t?∞? (ii) Ecrire le schema d'Euler explicite et etudier le comportement de la solution lorsque n tend vers l'infini. (iii) On considere le schema yn+1 ? yn h + k ( yn+1 + yn 2 )2 = 0.

• solution exacte


• condition sur ∆t


• methode des trapezes


• ∆t


• schema


• stabilite ?


• caracterisation de la stabilite


• comportement de la solution numerique


• schema d'euler


• proprietes de stabilite du schema d'euler