Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre Master Introduction la Logique

Niveau: Supérieur, Master
Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2009/2010 Master 1 Introduction à la Logique Théorie des ensembles Correction du DM2. Exercice I. 1. On commence par montrer que si V est un ensemble transitif alors P(V ) est encore un ensemble transitif. En effet, si a ? b ? P(V ), alors b ? V par définition de P(V ), donc on a a ? V par définition de l'inclusion. Comme V est transitif, ceci entraîne que a ? V , autrement dit a ? P(V ). On a donc démontré que (a ? b ? P(V ))? (a ? P(V )), ce qui prouve que P(V ) est transitif. Utilisons cela pour prouver le résultat demandé par récurrence transfinie : • V0 = ? est transitif. On considère maintenant ? > 0 tel que V? soit transitif pour tout ? < ?. • Si ? = ? + 1, a :ors ce qu'on vient de démontrer entraîne que V? = P(V?) est transitif. • Si ? est limite, alors V? est une réunion d'ensembles transitifs ; une union d'ensembles transitifs est un ensemble transitif. On en déduit que V? est bien un ensemble transitif. 2. Notons que si V est un ensemble transitif alors V ? P(V ) ; on en déduit par récurrence transfinie que ? ≤ ?? V? ? V?.

• axiome de fondation


• prédécesseur immédiat


• v? ?


• copies ordonnées


• ?0 endomorphismes de ?


• ?0


• modèle d'ordre discret


• ??


• ?? endomorphismes de ??


• ordinal ?