Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre

Niveau: Supérieur, Master

• cours - matière potentielle : su?rait


• cours - matière potentielle : pour la définition

Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2008/2009 Master 1 Logique et théorie des ensembles Devoir 1 à retourner le 26 février 2009 (Pour les raisons detaillées sur la page web du cours, ce devoir est facultatif.) I. On dit qu'un ensemble X est Dedekind-infini s'il existe une injection non surjective f : X ? X, autrement dit si X est équipotent à une de ses parties strictes. 1. L'objectif de cette première question est de montrer qu'un ensemble X est Dedekind-infini si, et seulement si, X contient un sous-ensemble dénombrable, c'est-à-dire équipotent à ?. Pour ce faire nous vous demandons de montrer les trois énoncés suivants : (a) Tout ensemble dénombrable est Dedekind infini. (b) Si l'ensemble X contient une partie dénombrable, alors X est un ensemble Dedekind-infini. (c) Si X est un ensemble Dedekind-infini, alors X contient une partie dénombrable. (Vous pouvez utiliser une construction en recourant à une récurrence qui utilise comme opération principale l'injection f .) Réponse : (a) Par définition, un ensemble X est dénombrable s'il existe une bijection entre X et ?. Par conséquent, pour répondre à la question, il su?t de trouver une injection non surjective de ? dans ?.

• récurrence sur ?


• titre d'illustration de l'usage du théorème de récurrence


• ordre de ?


• ordinal limite


• récurrence


• définition


• surjective de ? dans ?


• théorème de récurrence