UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON

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2011

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Julien Vovelle

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01 décembre 2011

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Poids de l'ouvrage

1 Mo

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1 ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE Habilitation à diriger des recherches no d'ordre 42-2011 Spécialité : Mathématiques Julien VOVELLE Quelques problèmes d'équations aux dérivées partielles : approximation numérique, équations de courbure moyenne, perturbations stochastiques soutenue publiquement le 08 décembre 2011 Composition du Jury Mme. Sylvie BENZONI Professeur de l'Université Lyon 1 Mme. Annie MILLET Professeur de l'Université Paris 1 Rapporteur M. Arnaud DEBUSSCHE Professeur de l'ENS Cachan – Bretagne Mr. Lawrence Craig EVANS Professeur de l'Université de Berkeley Rapporteur M. Thierry GALLOUËT Professeur de l'Université de Provence M. Francis FILBET Professeur de l'Université Lyon 1 M. Denis SERRE Professeur de l'ENS Lyon M. Alexis VASSEUR Professeur de l'Université du Texas, Austin Rapporteur

estimation de l'erreur

schémas volume

optimal error estimate

solution extrémale

professeur de l'ens lyon

équations de courbure moyenne

error estimates

minimal solution

Voir

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Français

Poids de l'ouvrage

1 Mo

UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1 ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

Habilitation à diriger des recherches no d’ordre 422011

Spécialité : Mathématiques

Julien VOVELLE

Quelques problèmes d’équations aux dérivées partielles : approximation numérique, équations de courbure moyenne, perturbations stochastiques

soutenue publiquement le 08 décembre 2011

Composition du Jury

Mme.SylvieBENZONI Mme.AnnieMILLET M. Arnaud DEBUSSCHE Mr. Lawrence Craig EVANS M. Thierry GALLOUËT M. Francis FILBET M. Denis SERRE M. Alexis VASSEUR

Professeur de l’Université Lyon 1 Professeur de l’Université Paris 1 Professeur de l’ENS Cachan – Bretagne Professeur de l’Université de Berkeley Professeur de l’Université de Provence Professeur de l’Université Lyon 1 Professeur de l’ENS Lyon Professeur de l’Université du Texas, Austin

Rapporteur

Remerciements

Avant tout je m’adresse à Thierry Gallouët. J’ai la ﬁerté, la chance, et avec moi bien d’autres, D’avoir pu débuter les maths, leurs riches quêtes, Avec lui. S’il y a un canon, c’est le nôtre !

Je sollicite encore ici mes rapporteurs Pour l’honneur qui m’est fait, pour leur patient travail, Many thanks Craig Evans, de grands mercis sans failles : Mercis Annie Millet et Alexis Vasseur.

Très spécialement là le jour de soutenance, Je compte Arnaud Debussche et Sylvie Benzoni, Denis Serre et Francis Filbet : à tous merci D’établir ce jury fort de vos compétences !

Je remercie aussi mes collaborateurs, Mes collaboratrices, nos travaux mutuels, Leur exemple, ainsi que les collègues et acteurs De l’ICJ, et tout spécialement Miguel.

Enﬁn, à celle à qui ces vers sont adaptés, Baddé 2ella aghla merci. – Bas min, a7lam ? Min ? Ente, bta3rife ika3, ghéna l’gharam, Yalli albe byesma3. Hobbé Nadine, marté.

Table

des

matières

A Introductionv A.1 Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Finivi. . . . . . . A.1.1 Schémas Volume Finivi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . vii A.1.3 Estimation d’erreur optimale pour les équations linéaires. . . . . . . ix A.1.4 Notes sur la démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x A.2 Chapitre 2 : Equation de courbure moyenne prescrite dépendant de la hauteurxii A.2.1 Problèmes elliptiques semi-linéairesxii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Branche de solution minimale, solution extrémale, deuxième branche de solutionsxiv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Résumé des preuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi A.3 Chapitre 3 : Perturbation stochastique de lois de conservation du premier ordrexvii A.3.1 Formulation cinétiquexviii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Chapitre 4 : Limite diﬀusive d’une équation cinétique stochastiquexix. . . . . A.4.1 Processus pilote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx A.4.2 Méthode de la fonction test perturbée. . . . . . . . . . . . . . . . . xxii A.4.3 Le coeﬃcientQxxii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Error estimates for Finite Volume schemes 1.1 Finite Volume scheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Error estimate in the whole space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Optimal error estimate for linear equations. . . . . . . . . . . . . . 1.3 Proof of the error estimate for linear equations. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Reduction of the problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prescribed heightdependent meancurvature equation 2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Weak and classical solution. . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Branches of solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Properties of weak solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Weak solutions as global minimizers. . . . . . . . 2.2.2 A priori bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2.3 Existence of minimal solutions forλ∈[0, λ). . . . . . . 2.3.1 Existence of weak solutions for small values ofλ. ∗ 2.3.2 Existence ofuλforλ < λ. . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∞ 2.4 UniformLbound for minimal weak solutions. . . . . . 2.4.1 Minimal solutions as one-sided global minimizers. 2.4.2 A bound onkuλf(uλ)kL(Ω). . . . . . . . . . . . . 1 2.4.3 A bound onkf(uλ)kL(Ω). . . . . . . . . . . . . . p ∞ 2.4.4Lestimate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Existence of the extremal solution. . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Estimate on∇uλon∂Ω. . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Extremal solution. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 4 5 5

11 11 14 16 17 18 18 19 21 21 21 23 24 24 25 26 27 29 29 30

3.4

67 67 69 69 69 73 74 74 74 75 77 77 81 82 84 84 86 88

Diﬀusion limit for a stochastic kinetic problem Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preliminary and main result. . . . . . . . . . . . 4.2.1 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 The driving random term. . . . . . . . . 4.2.3 The deterministic equation. . . . . . . . 4.2.4 Main result. . . . . . . . . . . . . . . . . Resolution of the kinetic Cauchy Problem. . . . 4.3.1 Pathwise solutions. . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Generator. . . . . . . . . . . . . . . . . . The limit generator. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Correctors. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Limit equation. . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . Diﬀusive limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.5.1 Bound inL. . . . . . . . . . . . . . . . x,v 4.5.2 Tightness. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Scalar conservation laws with stochastic forcing 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kinetic solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Deﬁnition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Generalized solutions. . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Left and right limits of generalized solution. . . 3.3 Comparison, uniqueness, entropy solution and regularity 3.3.1 Doubling of variables. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Uniqueness, reduction of generalized solution. . 3.3.3 Entropy solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Spatial regularity. . . . . . . . . . . . . . . . . . Existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 The parabolic approximation, kinetic formulation 3.5 Proof of Theorem 3.2.5 and Corollary 3.2.6. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Regularity of radial minimal solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Bound on the gradient near the origin and near the boundary. . . . ∗ 2.6.2 Bound on the gradient ofuλforλ < λ. . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Regularity of the extremal solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Second branch of solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Second diﬀerentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 The branch of minimal solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Second branch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparison principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 32 33 36 37 37 38 39 40

2.8

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

43 43 45 45 47 49 51 51 55 58 59 61 61 64

. . . . . . . . . . . . .

2.6

Table des matières

2.7

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Bibliographie

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre A Introduction

Contents A.1 Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Finivi A.1.1 Schémas Volume Fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . vii A.1.3 Estimation d’erreur optimale pour les équations linéaires. . . . . . . ix A.1.4 Notes sur la démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x A.2 Chapitre 2 : Equation de courbure moyenne prescrite dépendant de la hauteurxii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Problèmes elliptiques semilinéairesxii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Branche de solution minimale, solution extrémale, deuxième branche de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv A.2.3 Résumé des preuvesxvi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Chapitre 3 : Perturbation stochastique de lois de conservation du premier ordrexvii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Formulation cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii A.4 Chapitre 4 : Limite diﬀusive d’une équation cinétique stochastiquexix A.4.1 Processus pilotexx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2 Méthode de la fonction test perturbéexxii. . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.3 Le coeﬃcientQxxii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In this memoir I describe four of my works in diﬀerent areas of the study of partial diﬀerential equations. – Chapter 1 is concerned with error estimates for the approximation of ﬁrst-order scalar conservation laws by the Finite Volume method. For the most part, it is a summary of the article [MV07] with B. Merlet. – Chapter 2 is based on my work with A. Mellet on prescribed mean curvature equations. It corresponds to the article [MV10], but in a diﬀerent form, since it has been rewritten and since the framework is more general. – Up to minor modiﬁcations, Chapter 3 is the article [DV10] with A. Debussche, in which we solve the Cauchy Problem for multidimensional stochastic scalar conservation laws. – Up to minor modiﬁcations, Chapter 4 is the preprint [DV11] with A. Debussche, in which we study the stochastic diﬀusion limit of a random kinetic equation with a small parameter.

Dans ce mémoire d’habilitation à diriger des recherches, je présente quatre travaux dans diﬀérents domaines de l’étude des équations aux dérivées partielles. – Le Chapitre 1 porte sur l’approximation numérique des lois de conservation (scalaires d’ordre un), et précisément sur la question des estimations d’erreur dans l’approxi-mation par la méthode Volume Fini. C’est un résumé détaillé de l’article [MV07] avec B. Merlet

Chapitre A. Introduction

– Le sujet du Chapitre 2 est l’étude de certaines équations de courbure moyenne pres-crite que j’ai étudiées avec A. Mellet. Ce chapitre est une réécriture de l’article [MV10], dans un contexte un peu plus général (second membre général au lieu de fonction puis-sance). – A des modiﬁcations mineures près, le Chapitre 3 est l’article [DV10] avec A. De-bussche, dans lequel on résout le Problème de Cauchy pour des lois de conservations scalaires stochastiques multi-dimensionnelles. – Le Chapitre 4 porte aussi sur les équations aux dérivées partielles stochastiques. A des modiﬁcations mineures près, c’est la prépublication [DV11] avec A. Debussche, dans laquelle on étudie la limite diﬀusive stochastique d’une équation cinétique avec terme de forçage aléatoire comportant un petit paramètre. Les quatre chapitres sont rédigés en anglais, raison pour laquelle je vais les résumer en français dans le reste de cette introduction.

A.1

Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Fini

A.1.1 Schémas Volume Fini Dans ce premier chapitre, on va discuter de la convergence de la méthode Volume Fini d pour l’approximation des lois de conservations scalaires d’ordre un. Soit Ω⊂Run ouvert polygonal : sa frontière∂Ω est une union ﬁnie d’ensembles contenus dans des hyperplans d deR. Soit un maillageMde Ω, soit (à un ensemble de mesure nulle près) une partition de Ω en ouverts connexesK∈ Meux-mêmes polygonaux,cfl’illustration suivante, dans laquelle on a notéK|Lpour l’interfaceK∩L, et dans laquelle l’ensemble des voisins deK est{L, M, N}.

K|L

Un schéma d’évolution de type Volume Fini décrit l’évolution discrète de quantités associées à chaque maille selon un processus d’échanges entre voisins. Ici on considère les voisins immédiats et des équations X 1 n+1n n u=u−Q ,∀K∈ M,(A.1) K K K→L |K| L∈N(K) où N(K) ={L∈ M;L6=K, K|L6=∅} n est l’ensemble des voisins deK,|K|la mesure de Lebesgued-dimensionelle deKetQ K→L n désigne un ﬂux deKversLsur l’intervalle de temps (tn, tn+1). Le ﬂuxQdépendra de K→L n n uetu. Soit K L hdiam(:= sup K), K∈M

A.1.

Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Fini

vii

d le pas du maillage, où diam(A) est le diamètre d’un sous ensembleAdeRet soitk= tn+1−tn,n∈Nle pas d’espace (supposé constant). Le schéma estconservatifsi

n n Q=−Q , K→L L→K

∀K, L∈ M,

(A.2)

KetLétant voisins, ce qui assure qu’aucune masse n’est perdue ou créée lors de l’évolution ∞d0 neuour toutK, p par (A.1). Soitu0∈L(R) donnée, qui détermiKp ar exemple Z 1 0 u=u0(x)dx,∀K∈ M.(A.3) K |K| K Sous certaines hypothèses et pour une certaine construction des ﬂux numériques (voir Théo-rèmeA.1.1), lorsqueh, k→0, la solution de (A.1) approche la solution d’uneloi de conser vationdu premier ordre ut+ div(A(u)) = 0, u|t=0=u0.(A.4) On va étudier la vitesse de cette convergence.

A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace Pour être plus précis dans le résultat de convergence (on ne va s’intéresser qu’aux équa-tions d’ordre 1,i.e.au cas oùAdans (A.4) ne dépend que deudans (A.4)), on introduit les notions suivantes. On dit que le maillage est régulier s’il existe une constanteα >0 telle que

d αh≤ |K|,(A.5a) 1 d−1 |∂K| ≤h ,(A.5b) α pour toutK∈ M, où|∂K|est la mesure de Haussdorﬀ de dimensiond−1 du bord de K((A.5a) interdit par exemple qu’il y ait de trop grande diﬀérence de taille (aire, volume selon la dimension) entre les maille ; et (A.5a) impose par exemple qu’il n’y ait pas de maille trop ﬁne, type “cheveu"). d2 2 SoitA:R→Rune fonction de classeCet soit, pourK, L∈ Mvoisins,AK→L:R→ d Rdes fonctions localement lipschitziennes qui vériﬁent la condition deconsistancesui-vante : Z d−1 AK→L(u, u) =A(u)∙nK→LdH=|K|L|A(u)∙nK→L,∀u∈R,(A.6) K|L

n oùnK→Lest la normale unitaire sortante àKle long de l’interfaceK|L. Soit les ﬂuxQ K→L déﬁnis par n n n Q=kAK→L(uu , ).(A.7) K→L K L Si AK→L(u, v) =−AL→K(v, u),∀K, L∈ M,(A.8) n pour tousu, v,∈R, alors les ﬂuxQsont conservatifs. Par (A.6), ils sont consistants K→L avec les ﬂuxZ d−1 Q=A(u,∇u)∙n dH ∂ω associés au problème continu (A.4) (dans le cas où cela a un sens,Qest le ﬂux à travers d−1 la frontière d’un ouvertω,nest la normale unitaire sortante àωetHla mesure de Haussdorﬀ de dimensiond−1).

viii

Chapitre A.

On suppose de plus que les ﬂux sontmonotones, au sens où

∀v∈R,

AK→L(∙, v) est croissante.

Introduction

(A.9)

d On a alors le résultat suivant, en prenant Ω =R,tn=nk,n∈N, [CCL94,Vil94,CH99, EGH00].

∞d1 Théorème A.1.1(Estimation d’erreur).Soitu0∈L∩BVloc(R),Um≤u0≤UMp.p. d Supposons (A.8) et (A.9) vérifées. Soituh,kla fonction constante par morceaux surR× n n dA.3). Supposons R+égale àuKansK×[tn, tn+1[où lesusont déﬁnis pas (A.1)(A.7)( K 2d queA∈C(R;R), que (A.5) est vériﬁé uniformément enh, k, que lesAK→L, en restriction à[Um, UM], ont une constante de Lipschitz majorée parM|K|L|pour tousK, L, et qu’il existeξ∈]0,1]tel que la condition de CFL (Courant Friedrichs Lewy) soit satisfaite :

2 α h k≤(1−ξ). 2M

d Alors, pour tout compactK⊂R×R+, il existeC≥0dépendant ded,Um,UM,|Du0|(K), kAk,α C([um,U]),ξtel que 2 M b

1/4 kuh,k−ukL(K)≤Ch , 1

∞d oùu∈L(R×R+)est la solution entropique de (A.4) (oùAdépend deuuniquement).

Le théorème ci-dessus donne donc la convergence deuh,k, avec une estimation de la 1/4 vitesse de convergence enh.

Remarque A.1.1.Le ThéorèmeA.1.1est vrai sous des hypothèses plus générales, en particulier lorsqueAdépend aussi des variables(x, t), par exempleA(x, t, u) =a(x, t)f(u), 2d d2 oùa∈C(R×R;R),f∈C(R). Dans ce dernier cas (lorsque la vitesseaest bien identiﬁée), on peut déﬁnir les ﬂux numériques en utilisant un décentrage amont : on pose

n,+n,− AK→L(u, v) =a g(u, v)−a g(v, u), K→L K→L

u, v,∈R,

où Z Z tn+1 1 n d−1 a=a(x, t)∙nK→LdH(x)dt, K→L k tnK|L ± etsdésigne la partie positive (resp. négative) des∈R, etgest un ﬂux numérique associé àf.

A.1.2.1

Estimation d’erreur sur domaine borné

Dans le cas où le domaine Ω est borné, on doit compléter la déﬁnition du schéma (A.1)-n (A.7)-(A.3) aﬁn de déﬁnir le ﬂuxQlorsque la mailleKrencontre le bord de Ω : K→L σ:=K∩∂Ω6=∅. Pour cela, on introduit une maille ﬁctiveL, de sorte queK|L=σ, et la n valeuruutilisée dans la déﬁnition du ﬂux (A.7) est déterminée par une donnée au bord L ∞ ¯u∈L(∂Ω×R+), par exemple en prenant la valeur moyenne : Z Z tn+1 1 n d−1 u:=u¯(x, t)dH(x)dt. L k|σ| tnσ

1 1d d On dit queu∈L(R) est dansBVloc(R) si son gradient au sens des distributionsDuest une mesure loc d de Radon surRet on note alors|Du|la variation totale

Voir