Soient n n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees i i d telles que P P On fixe un parametre et on definit une suite de variables aleatoires U n n≥0 par U

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Epreuve de Probabilites Soient (?n)n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (i.i.d.) telles que P (?1 = 1) = P (?1 = ?1) = 1/2. On fixe un parametre ? > 0 et on definit une suite de variables aleatoires (U?n )n≥0 par U ? 0 = 0 et U ? n+1 = ?U ? n + ?n+1, pour n ≥ 0. On s'interesse a la limite de (U?n )n≥0 en loi, en fonction de ?. Les parties du probleme sont essentiellement independantes. Il sera tenu compte de la clarte du raisonnement et de la redaction dans l'evaluation de la copie. NB : • Les espaces Lp(R), ou p ≥ 1, sont sous-entendus par rapport a la mesure de Lebesgue ? et la tribu borelienne B(R) sur R. La norme de f dans Lp(R) est notee ?f?p. • Soit f ? L1(R) et ? : R ? R mesurable positive telle que ∫ ?(x) dx = 1. On pose ?r(x) = r?1?(x/r), pour r > 0. On pourra utiliser le fait que f ??r ? f dans L1(R), quand r ? 0+.

• relation u?n


• meme relation


• racine du polynome x2 ?


• theoreme de derivation de lebesgue


• y0 de loi ?