Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Soit E un R espace vectoriel de base e1 e2 On pose u1 e1 e2 et u2 e1 e2 Montrer que la famille u1 u2 est libre Exprimer e1 puis e2 comme une combinaison lineaire de u1 u2 En deduire que la famille u1 u2 est generatrice Si un vecteur u de E a pour coordonnees a b dans la base u1 u2 quelles sont les coor donnees de u dans la base e1 e2

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 11-12 semaine 8 ————————————————————————————————————————— Soit E un R espace vectoriel de base (e1, e2). On pose u1 = e1 + e2 et u2 = e1 ? e2. 1) Montrer que la famille (u1, u2) est libre. 2) Exprimer e1, puis e2 comme une combinaison lineaire de u1, u2. En deduire que la famille (u1, u2) est generatrice. 3) Si un vecteur u de E a pour coordonnees (a, b) dans la base (u1, u2), quelles sont les coor- donnees de u dans la base (e1, e2) ? 4) On considere le sous-espace vectoriel F1 de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E1) x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E2) . et le sous-espace vectoriel F2 de R4 forme des solutions du systeme suivant : (??) { x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E ?1) x4 = 0 (E ?2) . Preciser F1, F2 et F1 ? F2 et une base de ces trois sous-espaces vectoriels de R4. ————————————————————————————————————————— 1) Soit a et b deux reels tels que : au1 + bu2 = 0.

• combinaison lineaire de u1


• solution du systeme d'equations lineaires


• famille


• f2 de r4


• x3 ?