Master SC M1 MT05 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MT05. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Feuille 3: Theoreme de Hahn-Banach. 1 - Soit E un espace vectoriel reel, p une fonction sous-lineaire (sous-additive et positivement homogene) sur E. Montrer que pour tout x0 de E il existe une forme lineaire f sur E telle que f(x0) = p(x0) et f ≤ p. Que peut-on dire s'il existe une seule forme lineaire majoree par p ? 2 - Soient E un espace vectoriel sur R, p une fonction sous-lineaire sur E, H un hyperplan de E, f une forme lineaire sur H telle que f ≤ p. On suppose que x /? H et inf y?H (p(x+ y)? f(y)) = sup y?H (f(y)? p(y ? x)). Montrer qu'il existe une unique forme lineaire g sur E prolongeant f et telle que g ≤ p. Que vaut alors g(x)? 3 - Soient E un espace vectoriel norme, x et y des elements distincts de E. Montrer qu'il existe une forme lineaire continue f sur E telle que f(x) 6= f(y). 4 - Soient E un espace vectoriel norme, x ? E.

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