Master SC M1 MT05 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MT05. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Correction du probleme 1 Exercice 1. Soit E un espace vectoriel sur R et H un sous-espace vectoriel de E. (1) (facile) utilise le fait que H est un s.e.v. (2) Si pi(x) = pi(y) alors x + H = y + H donc x ? y + H i.e. il existe h ? H tq x = y + h d'ou x ? y ? H. Reciproque: si x ? y = h1 ? H alors x + H = y+h1 +H = y+H car l'application h ? h+h1 de H dans H est une bijection (*). (3) D'apres ce qu'il precede, on peut choisir un autre representant x? de p = pi(x) ssi x? ? x ? H. Il faut donc commencer par verifier que la somme est bien definie independamment du representant. Notons p = pi(x) et q = pi(y). Soient x?, y? tq p = pi(x?) et q = pi(y?) alors x = x? + h1 et y = y? + h2 avec hi ? H. On a (x +H)? (y +H) = (x + y) +H = x? + y? + h1 + h2 +H = x? + y? +H = (x? +H)? (

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