Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Etude métrique des courbes planes Nous étudions les propriétés métriques des courbes paramétrées du plan euclidien. Ces notes de cours récapitulent les définitions et formules importantes associées à cette étude. Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct (O,~i,~j). On rappelle qu'un arc (ou courbe) paramétré(e) (I, f) est la donnée d'un intervalle I ? R2 et d'une fonction f : I ? R2. Cette fonction sera supposée au moins de classe C1. On pose f(t) = x(t)~i+ y(t)~j. Rappel. Soient deux points du support de f : M1 = f(t1) et M2 = f(t2) avec t1 < t2. On appelle longueur de l'arc _ M1M2 le nombre : Lf (M1M2) = Z t2 t1 ||f ?(t)|| dt = Z t2 t1 È x?(t)2 + y?(t)2 dt 1 La question de la paramétrisation 1.1 Généralités Définition 1. Soit (I, f) un arc paramétré de classe C1. On dit ? est un paramétrage admissible pour l'arc (I, f) si ? est une bijection de classe C1 de J vers I telle que ?? ne s'annule pas.

• dv dt ??


• courbe


• base de projection pour les vecteurs vitesse


• arc


• arc paramétré de classe c1


• accélération dans les bases orthonormées directes


• vecteurs unitaires


• propriétés métriques des courbes paramétrées du plan euclidien


• vecteurs vitesse