Licence Math

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence Math 3 2008 Corrigé du devoir de math 3. Exercice 1. 1. Si x = pi2 ou ? pi 2 on a cos(x) = 0 et donc fn(x) = 1 pour tout n. D'autre part si x ?] ? pi 2 , pi 2 [ on a cos(x) > 0 d'où fn(x) = 1en2 cos x ??n?+∞ 0. Finalement la suite fn converge simplement sur J = I = [?pi2 , pi 2 ] vers la fonction f : [? pi 2 , pi 2 ] ? R x ? { 0 si x > 0; 1 si x = ±pi2 2. Si x = ±pi2 la série ∑ fn(x) diverge grossièrement. Montrons que cette série converge simple- ment sur l'intervalle ]? pi2 , pi 2 [ : pour un tel x, on a cosx > 0 et donc il existe n0 tel que pour n ≥ n0 on ait 1en2 cos x ≤ 1 n2 (car n2 en2 cos x ?? n?+∞ 0). On a donc ∑ fn(x) ≤ ∑ 1 n2 ; cette dernière série étant convergente, la première l'est également. 3. Sur K = [?pi4 , pi 4 ] on a cosx ≥ √ 2 2 et comme précédemment il existe n0 tel que pour n ≥ n0 on ait fn(x) ≤ 1en2 √ 2/2 ≤ 1 n2 .

• pi ∫


• x? pi


• gence pour les séries alternées


• licence math


• bn sinnx


• sinnx dx