Licence de mathematiques L3 janvier Universite Claude Bernard Lyon Departement de Mathematiques U F R Sciences et technologies

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de mathematiques L3 14 janvier 2010 Universite Claude Bernard (Lyon 1) Departement de Mathematiques - U.F.R. Sciences et technologies Algebre et theorie des nombres - Corrige Examen I - Arithmetique (4 points) La comete A qui est visible exactement tous les 26 ans a ete observee il y a 4 ans. La comete B qui est visible exactement tous les 14 ans a ete observee il y a 10 ans. Dans combiens d'annees pourra-t-on observer simultanement les cometes A et B ? Soit n ? Z. Les cometes peuvent(ou ont pu) etre observees simultanement dans n annees (il y a ?n annees) si et seulement si { n ? ?4 (mod 26) n ? ?10 (mod 14) Par le theoreme des restes chinois, la premiere equation est equivalente a { n ? ?4 ? 9 (mod 13) n ? ?4 ? 0 (mod 2) et la seconde a { n ? ?10 ? 4 (mod 7) n ? ?10 ? 0 (mod 2) Le systeme est donc equivalent a ? ? ? n ? 9 (mod 13) n ? 4 (mod 7) n ? 0 (mod 2) En utilisant l'identite 7 ? 2 ? 13 = 1 et le theoreme des restes chinois, il suit que le systeme des deux premeres equations est equivalent a n ? 9? 14? 4? 13 (mod 91), c'est-a-dire n ? 74 (mod 91).

• isometrie fixe


• formule de burnside


• reduction modulo


• deduire de la question precedente


• h?1 ·


• irreductible de degre


• anneaux z


• q¯